Twierdzenie Buchdahla

Ewolucja centralnego nacisku na zwartość (promień względem masy) dla „gwiazdy” o jednolitej gęstości. To centralne ciśnienie rozchodzi się na granicy Buchdahla.

W ogólnej teorii względności twierdzenie Buchdahla , nazwane na cześć Hansa Adolfa Buchdahla , precyzuje pogląd, że istnieje maksymalna trwała gęstość zwykłej grawitacyjnej materii. Daje nierówność między masą a promieniem, która musi być spełniona dla statycznych, sferycznie symetrycznych konfiguracji materii w określonych warunkach. ${\ displaystyle$ szczególności dla promienia powierzchni masa musi spełniać $R}$

${\ Displaystyle M <{\ Frac {4Rc ^ {2}} {9G}}}$

gdzie jest stałą $grawitacji$$_$ prędkością światła . _ Ta nierówność jest często określana jako granica Buchdahla . Granica była historycznie nazywana granicą Schwarzschilda, ponieważ po raz pierwszy zauważył ją Karl Schwarzschild w szczególnym przypadku płynu o stałej gęstości. Jednak tej terminologii nie należy mylić z promieniem Schwarzschilda , który jest znacznie mniejszy niż promień na granicy Buchdahla.

Twierdzenie

Biorąc pod uwagę statyczne, sferycznie symetryczne rozwiązanie równań Einsteina (bez $,$ kosmologicznej ) z materią ograniczoną do promienia powierzchniowego która zachowuje się jak doskonały płyn o gęstości , która nie rośnie na zewnątrz. (Promień powierzchniowy $}$ powierzchni . $W$ takiej kuli niekoniecznie jest $displaystyle R}$${\$ .) Dodatkowo zakłada, że ​​gęstość i ciśnienie nie mogą być ujemne. Masa tego roztworu musi spełniać

${\ Displaystyle M <{\ Frac {4Rc ^ {2}} {9G}}}$

W celu udowodnienia twierdzenia Buchdahl używa równania Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (TOV) .

Znaczenie

Twierdzenie Buchdahla jest przydatne przy poszukiwaniu alternatyw dla czarnych dziur . Takie próby są często inspirowane paradoksem informacyjnym ; sposób wyjaśnienia (części) ciemnej materii ; lub krytykować, że obserwacje czarnych dziur opierają się na wykluczeniu znanych alternatyw astrofizycznych (takich jak gwiazdy neutronowe ), a nie na bezpośrednich dowodach. Jednak, aby zapewnić realną alternatywę, czasami potrzebne jest, aby obiekt był wyjątkowo zwarty, aw szczególności naruszał nierówność Buchdahla. Oznacza to, że jedno z założeń twierdzenia Buchdahla musi być nieważne. Na podstawie tego, które założenia zostały naruszone, można sporządzić schemat klasyfikacji.

Przypadki specjalne

Nieściśliwy płyn

Szczególny przypadek nieściśliwego płynu lub stałej gęstości jest historycznie ważnym $*$ ρ $\ Displaystyle \ rho (r) = \ rho _ {$ na przykład w 1916 roku Schwarzschild po raz pierwszy zauważył, że masa nie może przekroczyć wartości dla danego promienia $\displaystyle R}$$}}$$}$ lub ciśnienie centralne stałoby się nieskończone. Jest to również szczególnie podatny przykład. W gwieździe można znaleźć.

${\ Displaystyle m (r) = {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {*}}$

i używając równania TOV

${\ Displaystyle p (r) = \ rho _ {*} c ^ {2} {\ Frac {R {\ sqrt {R-2GM / c ^ {2}}} - {\ sqrt {R ^ {3 }-2GMr^{2}/c^{2}}}}{{\sqrt {R^{3}-2GMr^{2}/c^{2}}}-3R{\sqrt {R-2GM/ c^{2}}}}}}$

$,$ że ciśnienie centralne się jako $\ do 9GM / 4c ^ {2}$ }

Rozszerzenia

Rozszerzenia twierdzenia Buchdahla generalnie albo rozluźniają założenia dotyczące materii, albo symetrii problemu. Na przykład poprzez wprowadzenie materii anizotropowej lub rotacji. Ponadto można również rozważyć analogie twierdzenia Buchdahla w innych teoriach grawitacji