Twierdzenie Carmichaela

W teorii liczb twierdzenie Carmichaela , nazwane na cześć amerykańskiego matematyka R. D. Carmichaela , stwierdza, że dla dowolnego niezdegenerowanego ciągu Lucasa pierwszego rodzaju U _n ( P , Q ) o względnie pierwszych parametrach P , Q i dodatnim wyróżniku element U _n z n ≠ 1, 2, 6 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy , który nie dzieli żadnego wcześniejszego z wyjątkiem 12. liczby Fibonacciego F(12) = U ₁₂ (1, −1) = 144 i jej odpowiednika U ₁₂ (−1, − 1) = −144.

W szczególności dla n większych niż 12 n -ta liczba Fibonacciego F( n ) ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej wcześniejszej liczby Fibonacciego.

Carmichael (1913, Twierdzenie 21) udowodnił to twierdzenie . Niedawno Yabuta (2001) dał prosty dowód.

Oświadczenie

Biorąc pod uwagę dwie stosunkowo pierwsze liczby całkowite P i Q , takie że i $PQ \neq 0$ , niech $U n (P, Q)$ będzie Lucasem re $Displaystyle D = P ^ {2} -4Q> 0}$ ciąg pierwszego rodzaju zdefiniowany przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U_ {0} (P, Q) & = 0, \\ U_ {1} (P, Q) & = 1, \\ U_ {n} (P, Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ dla }}n>1.\end{wyrównane }}}

Wtedy dla n ≠ 1, 2, 6 U _n ( P , Q ) ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnego U _m ( P , Q ) przez m < n , z wyjątkiem U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U ₁₂ (-1, -1) = -F(12) = -144. Taka liczba pierwsza p nazywana jest czynnikiem charakterystycznym lub pierwotnym _dzielnikiem pierwszym U n ( P , Q ). Rzeczywiście, Carmichael pokazał nieco silniejsze twierdzenie: dla n ≠ 1, 2, 6, U _n ( P , Q ) ma co najmniej jeden prymitywny dzielnik pierwszy, który nie dzieli D , z wyjątkiem U ₃ (1, −2) = U ₃ (−1 , −2) = 3, U ₅ (1, −1) = U ₅ (−1, −1) = F(5) = 5, U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U ₁₂ (-1, -1) = -F(12) = -144.

Zauważ, że D powinno być większe niż 0; zatem przypadki U ₁₃ (1, 2), U ₁₈ (1, 2) i U ₃₀ (1, 2) itd. nie są uwzględnione, ponieważ w tym przypadku D = −7 < 0.

Przypadki Fibonacciego i Pella

Jedynymi wyjątkami w przypadku Fibonacciego dla n do 12 są:

F(1) = 1 i F(2) = 1, które nie mają dzielników pierwszych

F(6) = 8, których jedynym dzielnikiem pierwszym jest 2 (czyli F(3))

F(12) = 144, którego jedyną liczbą pierwszą dzielniki to 2 (czyli F(3)) i 3 (czyli F(4))

Najmniejszym pierwotnym dzielnikiem pierwszym F( n ) są

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (sekwencja A001578 w OEIS )

Twierdzenie Carmichaela mówi, że każda liczba Fibonacciego, poza wymienionymi wyżej wyjątkami, ma co najmniej jeden pierwotny dzielnik pierwszy.

Jeśli n > 1, to n -ta liczba Pell ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej wcześniejszej liczby Pell. Najmniejszym prymitywnym dzielnikiem pierwszym n- tej liczby Pell są

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241, ... (sekwencja A246556 w OEIS )

Zobacz też

Twierdzenie Zsigmondy'ego

Carmichael, RD (1913), „O czynnikach liczbowych form arytmetycznych α ⁿ ± β ⁿ ”, Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi : 10,2307/1967797 , JSTOR 1967797 .