Twierdzenie Zsigmondy'ego

W teorii liczb twierdzenie Zsigmondy'ego , nazwane na cześć Karla Zsigmondy'ego , stwierdza, że ​​jeśli $są$ liczbami całkowitymi względnie pierwszymi to dla dowolnej liczby całkowitej $displaystyle n \ geq$ } liczba pierwsza p (nazywana pierwotnym dzielnikiem pierwszym ), która dzieli ${\ Displaystyle a ^ {n} -b ^ {n}}$ i nie dzieli dla żadnej dodatniej liczby całkowitej ${\ displaystyle a ^ {k} -b ^ {$$\ displaystyle k <n}$ z następującymi wyjątkami: za

• ${\ Displaystyle n = 1}$ , ${\ Displaystyle ab = 1}$ ; wtedy ${\ Displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = 1},$ który nie ma pierwszych dzielników
• ${\ Displaystyle n = 2}$ , ${\ Displaystyle a + b}$ potęga dwójki ; wtedy wszelkie nieparzyste czynniki pierwsze za ${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a ^$ musi być zawarte w ${\ Displaystyle a ^ {1} -b ^ {1}}$ , co też jest parzyste
• ${\ Displaystyle n = 6}$ , ${\ Displaystyle a = 2}$ , ${\ Displaystyle b = 1}$ ; wtedy ${\ Displaystyle a ^ {6} -b ^ {6} = 63 = 3 ^ {2 }\times 7=(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{3}-b^{3})}$

To uogólnia twierdzenie Banga, które stwierdza, że ​​jeśli $2 ^ {n} -1$ jest równe 6, to $ma$ 2 ${$ główny dzielnik nie dzielący żadnego z ${\ Displaystyle 2 ^ {k} -1}$ z ${\ Displaystyle k <n}$ .

$3$ , ma co $^ {3} + 1 ^ {3}=9}$ z wyjątkiem .

Twierdzenie Zsigmondy'ego jest często przydatne, zwłaszcza w teorii grup , gdzie służy do udowodnienia , że ​​różne grupy mają różne rzędy , z wyjątkiem przypadków, gdy wiadomo, że są takie same.

Historia

Twierdzenie zostało odkryte przez Zsigmondy pracującego w Wiedniu od 1894 do 1925 roku .

Uogólnienia

Niech ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ będzie ciągiem niezerowych liczb całkowitych. Zbiór Zsigmondy powiązany z sekwencją jest zbiorem

${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1: a_ {n} {\ tekst {nie ma prymitywnych dzielników pierwszych}} \}.}$

tj. zbiór indeksów taki, że każda liczba pierwsza dzieląca $}}$$n$ dzieli również trochę ${\ displaystyle a_ {m}}$ dla pewnego $displaystyle m < n}$ . Zatem twierdzenie Zsigmondy'ego implikuje, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ podzbiór \ {1,2,6 \}}$ , a twierdzenie Carmichaela mówi, że zbiór Zsigmondy'ego ciągu Fibonacciego to ${\ Displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ , a sekwencja Pell to ${\ Displaystyle \ {1 \}}$ . W 2001 roku Bilu, Hanrot i Voutier udowodnili, że ogólnie, jeśli ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ to sekwencja Lucasa lub sekwencja Lehmera , a następnie $30 \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ subseteq \ {1 \ równoważnik n \$$równoważnik$ (patrz OEIS : A285314 , jest tylko 13 takich , a mianowicie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Sekwencje Lucasa i Lehmera są przykładami sekwencji podzielności .

Wiadomo również, że jeśli $jest$${$ sekwencją podzielności jej zbiór Zsigmondy'ego jest skończona . Jednak wynik jest nieskuteczny w tym sensie, że dowód nie daje wyraźnej górnej granicy dla największego elementu w ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ , chociaż możliwe jest podanie efektywnej górnej granicy liczby elementów w ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ .

Zobacz też

• Twierdzenie Carmichaela

• K. Zsigmondy (1892). „Zur Theorie der Potenzreste”. Journal Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. doi : 10.1007/BF01692444 . hdl : 10338.dmlcz/120560 .
• Cz. Schmida (1927). „Karla Zsigmondy'ego” . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167–168.
•   Mosze Rojtman (1997). „O liczbach pierwszych Zsigmondy” . Proceedings of the American Mathematical Society . 125 (7): 1913–1919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR 2162291 .
•   Waltera Feita (1988). „O dużych liczbach pierwszych Zsigmondy'ego” . Proceedings of the American Mathematical Society . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . 102 (1): 29–36. doi : 10.2307/2046025 . JSTOR 2046025 .
•    Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Szparliński, Igor; Ward, Thomas (2003). Sekwencje powtarzające się . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 104. Providence, RI : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 103–104. ISBN 0-8218-3387-1 . Zbl 1033.11006 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Zsigmondy'ego” . MathWorld .