Twierdzenie Charitonowa

Twierdzenie Kharitonova jest wynikiem używanym w teorii sterowania do oceny stabilności układu dynamicznego , gdy parametry fizyczne układu nie są dokładnie znane. Gdy znane są współczynniki wielomianu charakterystycznego , kryterium stabilności Routha-Hurwitza można wykorzystać do sprawdzenia, czy system jest stabilny (tj. czy wszystkie pierwiastki mają ujemne części rzeczywiste). Twierdzenie Kharitonova można zastosować w przypadku, gdy wiadomo, że współczynniki mieszczą się tylko w określonych przedziałach. Zapewnia test stabilności dla tak zwanego wielomianu przedziałowego, podczas gdy Routha-Hurwitza dotyczy zwykłego wielomianu .

Definicja

Wielomian interwałowy to rodzina wszystkich wielomianów

$\ Displaystyle p (s) = a_ {0} + a_ {1} s ^ {1} + a_ {2} s ^ {2} + ... + a_ {n} s ^ {n }}$

gdzie każdy współczynnik ${\ Displaystyle a_ {i} \ in R}$ przyjmować dowolną wartość w określonych przedziałach za

${\ displaystyle l_ {i} \ równoważnik a_ {i} \ równoważnik u_ {i}.}$

Zakłada się również, że wiodący współczynnik nie może wynosić zero: ${\ Displaystyle 0 \ notin [l_ {n}, u_ {n}]}$ .

Twierdzenie

Wielomian interwałowy jest stabilny (tj. wszyscy członkowie rodziny są stabilni) wtedy i tylko wtedy, gdy cztery tzw. wielomiany Charitonowa

${\ Displaystyle k_ {1} (s) = l_ {0} + l_{1}s^{1}+u_{2}s^{2}+u_{3}s^{3}+l_{4}s^{4}+l_{5}s^{5}+ \cdots }$

${\ Displaystyle k_ {2} (s) = u_ {0} + u_ {1} s ^ {1} + l_ {2}s^{2}+l_{3}s^{3}+u_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots }$

${\ Displaystyle k_ {3} (s) = l_ {0} + u_ {1} s ^ {1} + u_ {2} s ^ {2} + l_ { 3}s^{3}+l_{4}s^{4}+u_{5}s^{5}+\cdots }$

${\ Displaystyle k_ {4} (s) = u_ {0} + l_ {1} s ^ {1} + l_ {2} s ^ {2} + u_ {3} s ^ {3} + u_ {4 }s^{4}+l_{5}s^{5}+\cdots }$

są stabilne.

Nieco zaskakujące w wyniku Kharitonova jest to, że chociaż w zasadzie testujemy nieskończoną liczbę wielomianów pod kątem stabilności, w rzeczywistości musimy przetestować tylko cztery. Możemy to zrobić za pomocą metody Routh-Hurwitz lub dowolnej innej. Tak więc uzyskanie informacji o stabilności wielomianu przedziałowego zajmuje tylko cztery razy więcej pracy niż sprawdzenie stabilności jednego zwykłego wielomianu.

Twierdzenie Kharitonova jest przydatne w dziedzinie niezawodnego sterowania , które ma na celu zaprojektowanie systemów, które będą dobrze działać pomimo niepewności w zachowaniu komponentów spowodowanych błędami pomiarowymi , zmianami warunków pracy, zużyciem sprzętu i tak dalej.

• VL Kharitonov, „Asymptotyczna stabilność położenia równowagi rodziny układów równań różniczkowych”, Differentsialnye uravneniya , 14 (1978), 2086-2088. (po rosyjsku)
• Akademicka strona domowa prof. VL Kharitonova (archiwum)