Twierdzenie Chunga-Fuchsa

W matematyce twierdzenie Chunga-Fuchsa , nazwane na cześć Chung Kai-lai i Wolfganga Heinricha Johannesa Fuchsa , stwierdza, że ​​cząstka przechodząca losowy spacer w m-wymiarach z pewnością powróci nieskończenie często do dowolnego sąsiedztwa początku na jednowymiarową linię ( m = 1) lub dwuwymiarową płaszczyznę ( m = 2), ale w przestrzeniach trójwymiarowych lub więcej wymiarowych pozostawi w nieskończoność.

W szczególności, jeśli położenie cząstki jest opisane przez wektor: ${\ displaystyle X_ {n}}: X n {\ displaystyle X_ {n}$ }

$${\ Displaystyle X_ {n} = Z_ {1} + \ kropki + Z_ {n}}$$

gdzie ${\ Displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, \ kropki, Z_ {n}}$ są niezależnymi wektorami m-wymiarowymi o danym rozkładzie wielowymiarowym,

m ${\ Displaystyle m = 1}$ , $| Z_ {i} |) <\ infty}$${\ Displaystyle E ( Z_ {i}) = 0}$ i lub jeśli ${\ Displaystyle m = 2}$${\ Displaystyle E (| Z_ {i} ^ {2} |) <\ infty }$${\ Displaystyle E (Z_ {i}) = 0}$ mi ,

co następuje:

$${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0, \ Pr (\ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ istnieje n\geq n_{0},\,|X_{n}|<\varepsilon )=1}$$

Jednak dla ${\ Displaystyle m \ geq 3}$ , m ≥ 3 {\ displaystyle m \ geq 3}

$${\ Displaystyle \ forall A> 0, \ Pr (\ istnieje n_ {0} \ geq 0, \, \ dla wszystkich n\geq n_{0},\,|X_{n}|\geq A)=1.}$$

• Miller (1963), Teoria procesów stochastycznych , Londyn: Chapman and Hall Ltd.
• „O rozkładzie wartości sum zmiennych losowych” Chung, KL i Fuchs, WHJ Mem. Amer. Matematyka soc. 1951 nr 6, 12 s