Twierdzenie Craméra (duże odchylenia)

Twierdzenie Craméra jest fundamentalnym wynikiem teorii dużych odchyleń , subdyscypliny teorii prawdopodobieństwa . Określa funkcję szybkości szeregu iid zmiennych losowych . Słabą wersję tego wyniku po raz pierwszy przedstawił Harald Cramér w 1938 roku.

Oświadczenie

Logarytmiczna funkcja generująca moment (będąca funkcją generującą kumulację ) zmiennej losowej jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ Lambda (t) = \ log \ nazwa operatora {E} [\ exp (tX_ {1})].}$

Niech ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki}$ będzie sekwencją iid rzeczywistych zmiennych losowych z funkcją generującą skończony logarytmiczny moment, np ${\ Displaystyle \ Lambda (t) <\ infty}$ dla wszystkich ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ .

Następnie transformata Legendre'a : ${\ displaystyle \ Lambda}$ :

${\ Displaystyle \ Lambda ^ {*} (x): = \ sup _ {t \ w \ mathbb {R}} \ lewo ( tx-\Lambda (t)\prawo)}$

zadowala,

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {1} n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle x> \ nazwa operatora {E} [X_ {1}].}$

W terminologii teorii dużych odchyleń wynik można przeformułować następująco:

Jeśli $_$ serią ${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathcal {L}} ({\ tfrac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}) \ prawej) _ {n \ in \mathbb {N}}}$ spełniają zasadę dużego odchylenia za pomocą funkcji szybkości . ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {*}}$ .

•   Klenke, Achim (2008). Teoria prawdopodobieństwa . Berlin: Springer. s. 508 . doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
• „Twierdzenie Craméra” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]