Twierdzenie Fatou-Lebesgue'a

W matematyce twierdzenie Fatou – Lebesgue'a ustanawia łańcuch nierówności odnoszących całek (w sensie Lebesgue'a ) granicy niższej i górnej granicy ciągu funkcji do granicy dolnej i górnej granicy całek tych funkcji . Twierdzenie nosi imię Pierre Fatou i Henri Léon Lebesgue .

Jeśli sekwencja funkcji jest zbieżna punktowo , nierówności zamieniają się w równości , a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Lebesgue'a o zdominowanej zbieżności .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech f ₁ , f ₂ , ... oznaczają ciąg mierzalnych funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na przestrzeni miar ( S , Σ , μ ). Jeśli istnieje całkowalna funkcja Lebesgue'a g na S , która dominuje w sekwencji w wartości bezwzględnej, co oznacza, że ​​| f _n | ≤ g dla wszystkich liczb naturalnych n , to wszystkie f _n oraz granica dolna i górna f _n są całkowalne i

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ do \ infty} f_ {n} \ d \ mu \ równoważnik \ liminf _ {n \ do \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \,d\mu \leq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty} f_{n}\,d\mu \,.}$

Tutaj granica dolna i granica górna f n _są brane punktowo. Całka wartości bezwzględnej tych funkcji granicznych jest ograniczona powyżej przez całkę g .

Ponieważ środkowa nierówność (dla ciągów liczb rzeczywistych) jest zawsze prawdziwa, kierunki pozostałych nierówności są łatwe do zapamiętania.

Dowód

Wszystkie f _n , jak również granica dolna i górna granicy f n _są mierzalne i zdominowane w wartości bezwzględnej przez g , a więc całkowalne.

Pierwsza nierówność wynika z zastosowania lematu Fatou do nieujemnych funkcji f _n + g i zastosowania liniowości całki Lebesgue'a . Ostatnia nierówność to odwrotny lemat Fatou .

Ponieważ g dominuje również nadrzędną granicą | f _n |,

${\ Displaystyle 0 \ równoważnik {\ biggl |} \ int _ {S} \ liminf _ {n \ do \ infty} f_ {n} \, d \ mu {\ biggr |} \ leq \int _{S}{\Bigl |}\liminf _{n\to \infty }f_{n}{\Bigr |}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\ do \infty }|f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}g\,d\mu }$

przez monotoniczność całki Lebesgue'a . Te same szacunki dotyczą granicy wyższej od f _n .

• Tematy analizy rzeczywistej i funkcjonalnej autorstwa Geralda Teschla z Uniwersytetu Wiedeńskiego.

Linki zewnętrzne

• „Twierdzenie Fatou-Lebesgue'a” . Planeta Matematyka .