Twierdzenie Ferrero-Washingtona

W algebraicznej teorii liczb twierdzenie Ferrero-Washingtona , udowodnione najpierw przez Ferrero i Washingtona (1979), a później przez Sinnotta (1984) , stwierdza, że ​​μ-niezmiennik Iwasawy znika dla cyklotomicznych rozszerzeń Zp abelowych algebraicznych _pól liczbowych .

Historia

Iwasawa (1959) wprowadził μ-niezmiennik rozszerzenia Z _p i zauważył, że we wszystkich obliczonych przez niego przypadkach wynosi on zero. Iwasawa i Sims (1966) użyli komputera do sprawdzenia, czy znika dla cyklotomicznego rozszerzenia Z _p liczb wymiernych dla wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż 4000. Iwasawa (1971) później przypuszczał, że niezmiennik μ znika dla dowolnego rozszerzenia Z _p , ale wkrótce po tym, jak Iwasawa (1973) odkrył przykłady niecyklotomicznych rozszerzeń pól liczbowych z nieznikającym μ-niezmiennikiem, pokazując, że jego pierwotne przypuszczenie było błędne. Zasugerował jednak, że przypuszczenie to może nadal obowiązywać w przypadku cyklotomicznych _{przedłużeń} Zp .

Iwasawa (1958) wykazał, że zanikanie niezmiennika μ dla cyklotomicznych Z _p -rozszerzeń wymiernych jest równoważne pewnym kongruencji między liczbami Bernoulliego , a Ferrero i Washington (1979) wykazali, że niezmiennik μ znika w tych przypadkach, dowodząc że kongruencje te zachodzą.

Oświadczenie

Dla pola liczbowego $suma$ pozwólmy K m _oznaczać rozszerzenie przez p ^{m - pierwiastki} mocy jedności, m i A ^{( p )} maksymalnego nierozgałęzionego _abelowego p -rozszerzenie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {K}}}$ . Niech moduł Tate

${\ Displaystyle T_ {p} (K) = \ operatorname {Gal} (A ^ {(p)} / {\ kapelusz {K}}) \ .}$

Wtedy T _p ( K ) jest grupą prop- p , a więc modułem Z _p . Korzystając z teorii pola klas, można opisać T _p ( K ) jako izomorficzne z odwrotną granicą grup klas C _m z K _m poniżej normy.

Iwasawa przedstawił T _p ( K ) jako moduł nad uzupełnieniem Z _p [ [ T ]], a to implikuje wzór na wykładnik p w kolejności grup klas C _m postaci

${\ Displaystyle \ lambda m + \ mu p ^ {m} + \ kappa \ .}$

Twierdzenie Ferrero-Washingtona mówi, że μ wynosi zero.

•      Ferrero, Bruce; Washington, Lawrence C. (1979), „Niezmiennik Iwasawy μ _p znika dla abelowych pól liczbowych”, Annals of Mathematics , druga seria, 109 (2): 377–395, doi : 10.2307/1971116 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971116 , MR 0528968 , Zbl 0443.12001
•      Iwasawa, Kenkichi (1958), „O niektórych niezmiennikach pól cyklotomicznych”, American Journal of Mathematics , 81 (3): 773–783, doi : 10.2307/2372857 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372782 , MR 0124317 (i poprawka JSTOR 2372857 )
•    Iwasawa, Kenkichi (1959), „O rozszerzeniach Γ algebraicznych pól liczbowych”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , MR 0124316
•   Iwasawa, Kenkichi (1971), „O niektórych nieskończonych abelowych rozszerzeniach algebraicznych pól liczbowych” , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nicea, 1970), tom 1 , Gauthier-Villars, s. 391–394, MR 0422205
•   Iwasawa, Kenkichi (1973), „O μ-niezmiennikach rozszerzeń Z1” , Teoria liczb, geometria algebraiczna i algebra przemienna, na cześć Yasuo Akizuki , Tokio: Kinokuniya, s. 1–11, MR 0357371
•    Iwasawa, Kenkichi ; Sims, Charles C. (1966), „Obliczanie niezmienników w teorii pól cyklotomicznych”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 : 86–96, doi : 10.2969/jmsj/01810086 , ISSN 0025-5645 , MR 0202700
•     Manin, Yu. ja ; Panchishkin, AA (2007), Wprowadzenie do współczesnej teorii liczb , Encyklopedia nauk matematycznych, tom. 49 (wydanie drugie), ISBN 978-3-540-20364-3 , ISSN 0938-0396 , Zbl 1079.11002
•     Sinnott, W. (1984), „O niezmienniku μ transformacji Γ funkcji wymiernej”, Inventiones Mathematicae , 75 (2): 273–282, doi : 10.1007 / BF01388565 , ISSN 0020-9910 , MR 0732547 , Zbl 0531.12004