Twierdzenie Fuetera-Pólyi

Fuetera -Pólyi , po raz pierwszy udowodnione przez Rudolfa Fuetera i George'a Pólyę , stwierdza, że ​​​​jedynymi kwadratowymi funkcjami parowania wielomianów są wielomiany Cantora .

Wstęp

W 1873 roku Georg Cantor wykazał istnienie tzw. wielomianu Cantora

${\ Displaystyle P (x, y): = {\ Frac {1} {2}} ((x + y) ^ {2} +3x+y)={\frac {x^{2}+2xy+3x+y^{2}+y}{2}}=x+{\frac {(x+y)(x+y+1) }{2}}={\binom {x}{1}}+{\binom {x+y+1}{2}}}$

jest odwzorowaniem bijektywnym od ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {2}}$ do ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ . Wielomian podany przez zamianę zmiennych jest również funkcją parowania.

Fueter badał, czy istnieją inne wielomiany kwadratowe z tą właściwością i doszedł do wniosku, że tak nie jest, zakładając, że ${\ Displaystyle P (0,0) = 0}$ . Następnie napisał do Pólyi, który wykazał, że twierdzenie nie wymaga tego warunku.

Oświadczenie

Jeśli $jest$ prawdziwym wielomianem kwadratowym w dwóch zmiennych, których ograniczenie do $\ Displaystyle \ mathbb {N} ^$ z $}$ do ${\ displaystyle \ mathbb {N}},$ to jest

${\ Displaystyle P (x, y): = {\ Frac {1} {2}} ((x + y) ^{2}+3x+y)}$

Lub

${\ Displaystyle P (x, y): = {\ Frac {1} {2}} ((y + x) ^ {2} + 3y + x).}$

Dowód

Oryginalny dowód jest zaskakująco trudny, wykorzystując twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa, $za$ udowodnić transcendencję niezerowej liczby algebraicznej $\ displaystyle a}$ . W 2002 roku MA Vsemirnov opublikował elementarny dowód tego wyniku.

Przypuszczenie Fuetera-Pólyi

Twierdzenie stwierdza, że ​​​​wielomian Cantora jest jedynym kwadratowym wielomianem parowania i N $\ displaystyle \$$mathbb {$ } Przypuszcza się, że są to jedyne takie parzyste wielomiany. W przeddruku z 2018 roku Pieter Adriaans przedstawił dowód, który ma potwierdzać przypuszczenie.

Wyższe wymiary

Uogólnienie wielomianu Cantora w wyższych wymiarach jest następujące:

${\ Displaystyle P_ {n} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ binom { k-1+\suma _{j=1}^{k}x_{j}}{k}}=x_{1}+{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2} }+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}}$

Suma tych $współczynników$ dwumianowych wielomian $zmiennych$ w . To jest tylko jedno z co najmniej ${\ displaystyle (n-1)!}$ równoważne wielomiany upakowania dla wymiarów ${\ displaystyle n}$ .