Twierdzenie Gell-Manna i Lowa

Gell -Manna i Lowa jest twierdzeniem w kwantowej teorii pola , które pozwala powiązać stan podstawowy (lub próżnię) układu oddziałującego ze stanem podstawowym odpowiadającej mu teorii nieoddziałującej. Udowodnili to w 1951 roku Murray Gell-Mann i Francis E. Low . Twierdzenie jest przydatne, ponieważ między innymi, odnosząc stan podstawowy teorii oddziałującej do jej nieoddziałującego stanu podstawowego, pozwala wyrazić funkcje Greena (które są zdefiniowane jako wartości oczekiwane pól obrazu Heisenberga w próżni oddziałującej) jako wartości oczekiwane pól obrazu interakcji w próżni nieoddziałującej. Chociaż twierdzenie Gell-Manna i Lowa jest zwykle stosowane do stanu podstawowego, ma zastosowanie do dowolnego stanu własnego hamiltonianu. Jego dowód opiera się na koncepcji rozpoczynania od nieoddziałującego hamiltonianu i adiabatycznego włączania interakcji.

Historia

Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez Gell-Manna i Lowa w 1951 roku, wykorzystując szereg Dysona . W 1969 roku Klaus Hepp przedstawił alternatywne wyprowadzenie dla przypadku, w którym oryginalny hamiltonian opisuje cząstki swobodne, a interakcja jest ograniczona normą. W 1989 roku G. Nenciu i G. Rasche udowodnili to za pomocą twierdzenia o adiabatyce . Dowód, który nie opiera się na ekspansji Dysona, został podany w 2007 roku przez Luca Guido Molinari.

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ${\ Displaystyle |\ Psi _ {0} \ rangle}$ być stanem własnym ${\ Displaystyle H_ {0}}$ $z$ energią niech „oddziałujący” hamiltonian będzie $Displaystyle H = H_ {0} + gV}$ $interakcji$ $,$ gdzie jest stałą sprzężenia i . Definiujemy hamiltonian ${\ Displaystyle H_ {\ epsilon} = H_ {0} + e ^ {- \ epsilon | t|} gV}, który$ skutecznie interpoluje między ${\ displaystyle H}$ i ${\ displaystyle H_ {0}}$ w ϵ ${\ Displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}$ i ${\ Displaystyle | t | \ rightarrow \ infty}$ . $\ epsilon I}}$ ja {\ Displaystyle U _ oznacz operator ewolucji na obrazie interakcji . Twierdzenie Gell-Manna i Lowa stwierdza , że jeśli granica jako ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$

{\ Displaystyle |\ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle = {\ Frac {U_ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle }{\langle \Psi _{0}|U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }}}

istnieje, to ${\ Displaystyle |\ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle}$ są stanami własnymi ${\ Displaystyle H}$ .

Zauważ, że zastosowane, powiedzmy, do stanu podstawowego, twierdzenie to nie gwarantuje, że stan rozwinięty będzie stanem podstawowym. Innymi słowy, przejazd kolejowy nie jest wykluczony.

Dowód

Podobnie jak w oryginalnym artykule, twierdzenie to jest zwykle udowadniane przy użyciu rozwinięcia operatora ewolucji Dysona. Jego ważność wykracza jednak poza zakres teorii zaburzeń, jak wykazał Molinari. Postępujemy tutaj zgodnie z metodą Molinariego. Skoncentruj się na ${\ Displaystyle H _ {\ epsilon}}$ i niech ${\ Displaystyle g = e ^ {\ epsilon \ theta}}$ . Z równania Schrödingera dla operatora ewolucji w czasie

{\ Displaystyle i \ hbar \ częściowe _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_{1},t_{2})=H_{\epsilon}(t_{1})U_{\epsilon}(t_{1},t_{2})}

${\ Displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {2}) = 1}$ możemy formalnie napisać

{\ Displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ Frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {t_ {2}} ^ {t_ {1}} dt'(H_{0}+e^{\epsilon (\theta -|t'|)}V)U_{\epsilon}(t',t_{2}).}

Skoncentruj się na chwilę na przypadku ${\ Displaystyle 0 \ geq t_ {1} \ geq t_ {2}}$ . Poprzez zmianę zmiennych możemy napisać ${\ Displaystyle \ tau = t'+ \ theta}$

{\ Displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ Frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {\ teta + t_ {2}} ^ {\ teta +t_{1}}d\tau (H_{0}+e^{\epsilon \tau}V)U_{\epsilon}(\tau -\theta,t_{2}).}

Dlatego to mamy

{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ theta} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = \ epsilon g \ częściowe _ {g} U_ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2 })=\częściowe _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})+\częściowe _{t_{2}}U_{\epsilon }(t_{1},t_ {2}).}

Wynik ten można połączyć z równaniem Schrödingera i jego sprzężeniem

{\ Displaystyle -i \ hbar \ częściowe _ {t_ {1}} U_ {\ epsilon }(t_{2},t_{1})=U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})H_{\epsilon }(t_{1})}

pozyskać

{\ Displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ częściowy _ {g} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ {\ epsilon} (t_ {1}) U _ {\ epsilon} (t_ {1},t_{2})-U_{\epsilon}(t_{1},t_{2})H_{\epsilon}(t_{2}).}

Odpowiednie $_$ _ Można to uzyskać przez wstępne pomnożenie obu stron przez ${\ Displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar}}$ po pomnożeniu przez $e^{iH_{0}t_{2}/\hbar }$ i korzystając z

{\ Displaystyle U _ {\ epsilon I} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2 })e^{-iH_{0}t_{2}/\hbar }.}

Inny przypadek, który nas interesuje, a mianowicie, $można$ komutatorem (nie $mają$ tutaj przypadkiem, w którym ). Reasumując, otrzymujemy

{\ Displaystyle \ lewo (H _ {\ epsilon, t = 0} -E_ {0} \ pm i \ hbar \ epsilon g \ częściowe _ {g} \ prawej) U _ {\ epsilon I} (0 ,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle =0.}

Kontynuujemy dla przypadku czasów ujemnych. Skrócenie różnych operatorów dla jasności

{\ Displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ częściowe _ {g} \ lewo (U | \ Psi _ {0} \ rangle \ po prawej) = (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) U | \ Psi _ { 0}\szereg .}

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ epsilon}}$ rozróżniamy i eliminujemy pochodne ${\ Displaystyle \ częściowe _ {g} (U | \ Psi _ {0} \ rangle )}$ używając powyższego wyrażenia, znajdowanie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ hbar \ epsilon g \ częściowe _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle & = {\ Frac {1} {\ langle \ Psi _ {0} | U |\Psi _{0}\rangle }}(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle -{\frac {U|\Psi _{0}\rangle }{ {\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }^{2}}}\langle \Psi _{0}|(H_{\epsilon }-E_{0})U| \Psi _{0}\rangle \\&=(H_{\epsilon }-E_{0})|\Psi _{\epsilon }\rangle -|\Psi _{\epsilon }\rangle \langle \Psi _ {0}|H_{\epsilon }-E_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle \\&=\left[H_{\epsilon }-E\right]|\Psi _{\epsilon }\ zakres .\end{wyrównane}}}

gdzie ${\ Displaystyle E = E_ {0} + \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -H_ {0} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ . Możemy teraz $aby$ założenia ${\ Displaystyle g \ częściowe _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ po lewej stronie jest skończone. Widzimy to wtedy wyraźnie ${\ Displaystyle |\ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ jest stanem własnym ${\ displaystyle H}$ i dowód jest zakończony.

^ Gell-Mann, Murray; Niski, Franciszek (15.10.1951). „Stany związane w kwantowej teorii pola” . Przegląd fizyczny . 84 (2): 350–354. doi : 10.1103/PhysRev.84.350 . ISSN 0031-899X .
^ Hepp, Klaus (1969). Théorie de la renormalizacja . Notatki z wykładów z fizyki (w języku francuskim). Tom. 2. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/bfb0108958 . ISBN 978-3-540-04640-0 .
^ G, Nenciu; G, Rasche (1989). „Twierdzenie adiabatyczne i wzór Gell-Mann-Low” . Helvetica Physica Acta . 62 : 372. doi : 10.5169/SEALS-116035 .
^ Molinari, Luca Guido (2007). „Kolejny dowód twierdzenia Gell-Manna i Lowa” . Dziennik fizyki matematycznej . 48 (5): 052113. doi : 10.1063/1.2740469 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119665963 .

AL Fetter i JD Walecka: „Kwantowa teoria układów wielu cząstek”, McGraw – Hill (1971)

[1] Gell-Mann, Murray; Niski, Franciszek (15.10.1951). „Stany związane w kwantowej teorii pola” . Przegląd fizyczny . 84 (2): 350–354. doi : 10.1103/PhysRev.84.350 . ISSN 0031-899X .

[2] Hepp, Klaus (1969). Théorie de la renormalizacja . Notatki z wykładów z fizyki (w języku francuskim). Tom. 2. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/bfb0108958 . ISBN 978-3-540-04640-0 .

[3] G, Nenciu; G, Rasche (1989). „Twierdzenie adiabatyczne i wzór Gell-Mann-Low” . Helvetica Physica Acta . 62 : 372. doi : 10.5169/SEALS-116035 .

[4] Molinari, Luca Guido (2007). „Kolejny dowód twierdzenia Gell-Manna i Lowa” . Dziennik fizyki matematycznej . 48 (5): 052113. doi : 10.1063/1.2740469 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119665963 .