Twierdzenie Hardy'ego-Ramanujana

W matematyce twierdzenie Hardy'ego -Ramanujana , udowodnione przez GH Hardy'ego i Srinivasa Ramanujana ( 1917 ), stwierdza, że ​​normalny porządek liczby ω( n ) różnych czynników pierwszych liczby n to log(log( n )).

Z grubsza mówiąc, oznacza to, że większość liczb ma mniej więcej taką liczbę odrębnych czynników pierwszych.

Precyzyjne stwierdzenie

Bardziej precyzyjna wersja mówi, że dla każdej funkcji o wartościach rzeczywistych ψ ( n ), która dąży do nieskończoności, gdy n dąży do nieskończoności

${\ Displaystyle | \ omega (n) - \ log \ log n | <\ psi (n) {\ sqrt {\ log \ log n}}}$

lub bardziej tradycyjnie

${\ Displaystyle | \ omega (n) - \ log \ log n | < {(\ log \ log n)} ^ {{\ Frac {1} {2}} +\varepsilon }}$

dla prawie wszystkich (wszystkich z wyjątkiem nieskończenie małej części) liczb całkowitych. To znaczy, niech g ( x ) będzie liczbą dodatnich liczb całkowitych n mniejszych od x , dla których powyższa nierówność zawodzi: wtedy g ( x )/ x zbiega się do zera, gdy x dąży do nieskończoności.

Historia

Prosty dowód wyniku Turán (1934) dał Pál Turán , który użył sita Turána , aby udowodnić, że

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik x} | \ omega (n) - \ log \ log n | ^ {2} \ ll x \ log \ log x \ .}$

Uogólnienia

Te same wyniki są prawdziwe dla Ω( n ), liczby czynników pierwszych n liczonych z krotnością . Twierdzenie to jest uogólnione przez twierdzenie Erdősa – Kaca , które pokazuje, że ω ( n ) ma zasadniczo rozkład normalny .

•   Hardy, GH ; Ramanujan, S. (1917), „Normalna liczba czynników pierwszych liczby n ” , Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76–92, JFM 46.0262.03
•    Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), „Twierdzenie Erdősa – Kaca i jego uogólnienia”, w: De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrzej ; Luca, Florian (red.), Anatomia liczb całkowitych. Na podstawie warsztatów CRM, Montreal, Kanada, 13-17 marca 2006 r. , CRM Proceedings and Lecture Notes, tom. 46, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 209–216, ISBN 978-0-8218-4406-9 , Zbl 1187.11024
•    Turán, Pál (1934), „O twierdzeniu Hardy'ego i Ramanujana”, Journal of the London Mathematical Society , 9 (4): 274–276, doi : 10.1112/jlms/s1-9.4.274 , ISSN 0024-6107 , Zbl 0010.10401
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "Twierdzenie Hardy'ego-Ramanujana" , Encyklopedia matematyki , EMS Press