Twierdzenie Hjelmsleva
W geometrii twierdzenie Hjelmsleva , nazwane na cześć Johannesa Hjelmsleva , jest stwierdzeniem, że jeśli punkty P, Q, R... na prostej są izometrycznie odwzorowane na punkty P´, Q´, R´... innej prostej w tej samej płaszczyźnie, to środki odcinków PP´, QQ´, RR´… również leżą na prostej.
Dowód jest łatwy, jeśli przyjmie się klasyfikację izometrii płaskich . Jeśli dana izometria jest nieparzysta, w którym to przypadku jest to koniecznie albo odbicie w linii, albo odbicie poślizgowe (iloczyn trzech odbić w linii i dwóch prostopadłych do niej), to stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych punktów w dowolnej płaszczyźnie: punkt środkowy PP´ leży na osi odbicia (poślizgu) dla dowolnego P. Jeśli izometria jest parzysta, skomponować ją z odbiciem na linii PQR, aby uzyskać nieparzystą izometrię z takim samym skutkiem dla P, Q, R... i zastosuj poprzednią uwagę.
Znaczenie twierdzenia polega na tym, że ma ono inny dowód, który nie zakłada postulatu równoległości , a zatem jest ważny również w geometrii nieeuklidesowej . Z jego pomocą mapowanie, które odwzorowuje każdy punkt P płaszczyzny na punkt środkowy odcinka P´P´´, gdzie P´i P´´ są obrazami P w obrocie ( w dowolnym kierunku) o zadaną ostrą kąt wokół danego środka, jest postrzegany jako kolineacja odwzorowująca całą płaszczyznę hiperboliczną w sposób 1-1 na wnętrze dysku, zapewniając w ten sposób dobre intuicyjne pojęcie o liniowej strukturze płaszczyzny hiperbolicznej. W rzeczywistości nazywa się to transformacją Hjelmsleva .
- Martin, George E. (1998), Podstawy geometrii i płaszczyzna nieeuklidesowa , Teksty licencjackie z matematyki (wyd. 3), Springer-Verlag, s. 384 , ISBN 978-0-387-90694-2 .
Linki zewnętrzne
- Twierdzenie Hjelmsleva autorstwa Jaya Warendorffa, projekt Wolfram Demonstrations .
- Twierdzenie Hjelmsleva z przecięcia węzła