Transformacja Hjelmsleva
W matematyce transformacja Hjelmsleva jest efektywną metodą odwzorowania całej płaszczyzny hiperbolicznej na okrąg o skończonym promieniu . Transformację wymyślił duński matematyk Johannes Hjelmslev . Wykorzystuje 23. twierdzenie Nikołaja Iwanowicza Łobaczewskiego z jego pracy Geometrical Investigations on the Theory of Parallels.
Łobaczewski zauważa, używając kombinacji swoich szesnastego i dwudziestego trzeciego twierdzenia, że podstawową cechą geometrii hiperbolicznej jest istnienie odrębnego kąta równoległości dla dowolnej długości linii. Powiedzmy, że dla długości AE jej kąt równoległości to kąt BAF. W takim przypadku proste AH i EJ będą hiperrównoległe , a zatem nigdy się nie spotkają. W konsekwencji każda linia poprowadzona prostopadle do podstawy AE między A i E musi koniecznie przecinać linię AH w pewnej skończonej odległości. Johannesa Hjelmsleva odkrył na tej podstawie metodę kompresji całej płaszczyzny hiperbolicznej do skończonego koła. Metoda jest następująca: dla dowolnego kąta równoległości narysuj z jego linii AE prostopadłą do drugiego promienia; używając tej długości odcięcia, np. AH, jako promienia okręgu, „odwzoruj” punkt H na linię AE. Odwzorowany w ten sposób punkt H musi leżeć między A i E. Stosując ten proces dla każdej linii w płaszczyźnie, nieskończona przestrzeń hiperboliczna staje się w ten sposób zawarta i płaska. Transformacja Hjelmsleva nie daje jednak właściwego koła. Obwód utworzonego koła nie ma odpowiedniego położenia na płaszczyźnie, dlatego iloczyn transformacji Hjelmsleva jest trafniej nazywany Dysk Hjelmsleva . Podobnie, gdy ta transformacja jest rozszerzona we wszystkich trzech wymiarach, nazywa się ją kulą Hjelmsleva .
Istnieje kilka właściwości, które są zachowywane podczas transformacji, co umożliwia uzyskanie cennych informacji, a mianowicie:
- Obraz koła dzielącego środek transformacji będzie kołem wokół tego samego środka.
- W rezultacie obrazy wszystkich kątów prostych z jednym bokiem przechodzącym przez środek będą kątami prostymi.
- Dowolny kąt ze środkiem transformacji jako wierzchołkiem zostanie zachowany.
- Obraz dowolnej linii prostej będzie skończonym odcinkiem linii prostej.
- Podobnie kolejność punktów jest zachowywana podczas transformacji, tj. jeśli B znajduje się między A i C, obraz B będzie między obrazem A i obrazem C.
- Obraz kąta prostoliniowego jest kątem prostym.
Transformacja Hjelmsleva i model Kleina
Jeśli reprezentujemy przestrzeń hiperboliczną za pomocą modelu Kleina i przyjmujemy środek transformacji Hjelmsleva za punkt środkowy modelu Kleina, to transformacja Hjelmsleva odwzorowuje punkty na dysku jednostkowym na punkty na dysku wyśrodkowanym w początku z promień mniejszy niż jeden. Biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą k, transformacja Hjelmsleva, jeśli pominiemy obroty, jest w rzeczywistości tym, co otrzymujemy przez odwzorowanie wektora u reprezentującego punkt w modelu Kleina na ku, gdzie 0<k<1. Jest to zatem z punktu widzenia modelu skalowanie jednolite który wysyła linie do linii i tak dalej. Dla istot żyjących w przestrzeni hiperbolicznej może to być odpowiedni sposób na sporządzenie mapy.