Twierdzenie Holditcha
W geometrii płaszczyzny twierdzenie Holditcha stwierdza, że jeśli cięciwa o ustalonej długości może obracać się wewnątrz wypukłej krzywej zamkniętej, to miejsce punktu na cięciwie w odległości p od jednego końca i odległości q od drugiego jest krzywą zamkniętą którego zamknięty obszar jest mniejszy niż obszar oryginalnej krzywej o . Twierdzenie zostało opublikowane w 1858 roku przez wielebnego Hamneta Holditcha . Chociaż Holditch o tym nie wspomniał, dowód twierdzenia wymaga założenia, że cięciwa jest wystarczająco krótka, aby wyśledzone miejsce było prostą krzywą zamkniętą.
obserwacje
Twierdzenie to zalicza się do 250 kamieni milowych Clifforda Pickovera w historii matematyki . Niektóre cechy szczególne twierdzenia obejmują to, że wzór na pole zarówno od kształtu, jak i rozmiaru oryginalnej krzywej oraz że wzór na pole jest taki sam jak wzór elipsa o półosiach p i q . Autorem twierdzenia był rektor Caius College w Cambridge .
Rozszerzenia
Broman podaje bardziej precyzyjne sformułowanie twierdzenia wraz z uogólnieniem. Uogólnienie pozwala na przykład na rozważenie przypadku, w którym krzywa zewnętrzna jest trójkątem , tak że warunki dokładnego stwierdzenia twierdzenia Holditcha nie są spełnione, ponieważ ścieżki punktów końcowych cięciwy mają części wsteczne (części, które powracają siebie) za każdym razem, gdy pokonywany jest kąt ostry . Niemniej jednak uogólnienie pokazuje, że jeśli cięciwa jest krótsza niż którakolwiek z wysokości trójkąta i jest na tyle krótki, że śledzone miejsce jest prostą krzywą, wzór Holditcha na obszar pośredni jest nadal poprawny (i pozostaje taki, jeśli trójkąt zostanie zastąpiony dowolnym wypukłym wielokątem z wystarczająco krótką cięciwą ) . Jednak inne przypadki skutkują różnymi formułami.
Dalsza lektura
- B. Williamson, FRS , Elementarny traktat o rachunku całkowym: zawierający zastosowania do płaskich krzywych i powierzchni, z licznymi przykładami (Longmans, Green, Londyn, 1875; 2. 1877; 3. 1880; 4. 1884; 5. 1888; 6. 1891; 7. 1896; 8. 1906; 1912, 1916, 1918, 1926); Ist 1875 , s. 192–193, z cytatem z pytania o nagrodę Holditcha zawartego w The Lady's and Gentleman's Diary z 1857 r. (Ukazał się pod koniec 1856 r.), Z rozszerzeniem Woolhouse w numerze z 1858 r .; 5. 1888 ; 8. 1906 s. 206–211
- J. Edwards, Traktat o rachunku całkowym z zastosowaniami, przykładami i problemami, tom. 1 (Macmillan, Londyn 1921), rozdz. XV, zwł. Sekcje 478, 481–491, 496 (patrz także rozdział XIX dla natychmiastowych centrów, ruletek i glisettes); wykłady i rozszerzenia odniesień ze względu na Woolhouse, Elliott, Leudesdorf, Kempe, opierając się na wcześniejszej książce Williamsona.
- Kılıç, Erol; Keleş, Sadık (1994), „O twierdzeniu Holditcha i pędzie bezwładności biegunowej”, Wydział Komunikacji Nauk Uniwersytetu w Ankarze , seria A1: Matematyka i statystyka, 43 (1–2): 41–47 (1996), MR 1404786
- Cooker, Mark J. (lipiec 1998), „Rozszerzenie twierdzenia Holditcha na obszarze w obrębie zamkniętej krzywej”, The Mathematical Gazette , 82 (494): 183–188, doi : 10,2307/3620400 , JSTOR 3620400 , S2CID 123443685
- Cooker, Mark J. (marzec 1999), „O zamiataniu obszaru”, The Mathematical Gazette , 83 (496): 69–73, doi : 10.2307/3618685 , JSTOR 3618685 , S2CID 125103358
- Apostoł Tom M .; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), „9.13 Uwagi dotyczące twierdzenia Holditcha” , Nowe horyzonty w geometrii , The Dolciani Mathematical Expositions, tom. 47, Washington, DC: Mathematical Association of America, s. 291–294, ISBN 978-0-88385-354-2 , MR 3024916