Twierdzenie Jacobsona-Bourbakiego
W algebrze twierdzenie Jacobsona-Bourbakiego jest twierdzeniem używanym do rozszerzenia teorii Galois na rozszerzenia pól , które nie muszą być rozdzielne. Został wprowadzony przez Nathana Jacobsona ( 1944 ) dla pól przemiennych i rozszerzony na pola nieprzemienne przez Jacobsona (1947) i Henri Cartana ( 1947 ), którzy przypisali wynik niepublikowanej pracy Nicolasa Bourbakiego . Rozszerzenie teorii Galois na rozszerzenia normalne nazywa się Korespondencja Jacobsona-Bourbakiego , która zastępuje zgodność między niektórymi podobszarami pola a niektórymi podgrupami grupy Galois zgodnością między niektórymi pierścieniami podrzędnymi pierścienia podziału a niektórymi algebrami podrzędnymi algebry asocjacyjnej.
Twierdzenie Jacobsona-Bourbakiego implikuje zarówno zwykłą zgodność Galois dla podpól rozszerzenia Galois, jak i zgodność Jacobsona z Galois dla podpól czysto nierozłącznego rozszerzenia wykładnika co najwyżej 1.
Oświadczenie
Załóżmy, że L jest pierścieniem podziału . Twierdzenie Jacobsona-Bourbakiego stwierdza, że istnieje naturalna zgodność 1: 1 między:
- Pierścienie podziału K w L o skończonym indeksie n (innymi słowy L jest skończoną wymiarową lewą przestrzenią wektorową nad K ).
- K -algebry jednostkowe o skończonym wymiarze n (jako K - przestrzenie wektorowe) zawarte w pierścieniu endomorfizmów grupy addytywnej K .
Podrzędny pierścień podziału i odpowiadająca mu podalgebra są swoimi komutantami.
Jacobson (1956 , rozdział 7.2) podał rozszerzenie pierścieni podziału, które mogą mieć nieskończony indeks, co odpowiada zamkniętym podalgebrom w topologii skończonej.
- Cartan, Henri (1947), "Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs", Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 224 : 249–251, MR 0020983
- Cartan, Henri (1947), „Théorie de Galois pour les corps non commutatifs”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 64 : 59–77, doi : 10.24033/asens.942 , ISSN 0012-9593 , MR 0023237
- Jacobson, Nathan (1944), „Teoria Galois czysto nierozłącznych pól wykładnika pierwszego”, American Journal of Mathematics , 66 (4): 645–648, doi : 10.2307/2371772 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371772 , MR 0011079
- Jacobson, Nathan (1947), „Uwaga na temat pierścieni podziału”, American Journal of Mathematics , 69 (1): 27–36, doi : 10.2307/2371651 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371651 , MR 0020981
- Jacobson, Nathan (1956), Struktura pierścieni , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Colloquium Publications, tom. 37, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1037-8 , MR 0081264
- Jacobson, Nathan (1964), Wykłady z algebry abstrakcyjnej. Tom III: Teoria pól i teoria Galois , D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ-Toronto, Ont.-London-New York, ISBN 978-0-387-90168-8 , MR 0172871
- Kreimer, F. (2001) [1994], "Jacobson-Bourbaki_theorem" , Encyklopedia matematyki , EMS Press