Twierdzenie Jurkata-Richerta

Jurkata -Richerta jest twierdzeniem matematycznym w teorii sit . Jest to kluczowy składnik dowodów twierdzenia Chena o hipotezie Goldbacha . Udowodnili to w 1965 roku Wolfgang B. Jurkat i Hans-Egon Richert .

Stwierdzenie twierdzenia

Ten preparat pochodzi z firmy Diamond & Halberstam . Inne preparaty są w Jurkat & Richert, Halberstam & Richert i Nathanson.

Załóżmy, że A jest skończoną sekwencją liczb całkowitych, a P jest zbiorem liczb pierwszych. Zapisz A _d dla liczby elementów w A , które są podzielne przez d , i napisz P ( z ) dla iloczynu elementów w P , które są mniejsze od z . Zapisz ω( d ) dla funkcji multiplikatywnej takiej, że ω( p )/ p jest w przybliżeniu proporcją elementów A podzielnych przez p , napisz X dla dowolnego dogodnego przybliżenia do | A |, a resztę zapisz jako

${\ Displaystyle r_ {A} (d) = \ lewo | A_ {d} \ prawo | - {\ Frac {\ omega (d)} {d}} X.}$

Zapisz S ( A , P , z ) dla liczby elementów w A , które są względnie pierwsze do P ( z ). Pisać

${\ Displaystyle V (z) = \ prod _ {p \ w P, p <z} \ lewo (1- {\ Frac {\ omega (p)} {p}} \ prawej).}$

Zapisz ν( m ) dla liczby różnych dzielników pierwszych m . Zapisz F ₁ i f ₁ dla funkcji spełniających określone równania różniczkowe (zobacz definicję i właściwości Diamonda i Halberstama).

Zakładamy, że wymiar (gęstość przesiewania) wynosi 1: to znaczy istnieje stała C taka, że ​​dla 2 ≤ z < w mamy

${\ Displaystyle \ prod _ {z \ równoważnik p <w} \ lewo (1- {\ Frac {\ omega (p)}} {p}} \ prawo) ^ {-1} \ równoważnik \ lewo ({\ frac { \log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).}$

(Księga Diamonda i Halberstama rozszerza twierdzenie na wymiary większe niż 1.) Następnie twierdzenie Jurkata-Richerta stwierdza, że ​​​​dla dowolnych liczb y i z z 2 ≤ z ≤ y ≤ X mamy

${\ Displaystyle S (A, P, z) \ równoważnik XV (z) \ lewo (F_ {1} \ lewo ({\ Frac {\ log y} {\ log z}} \ prawej) + O \ lewo ({{ \frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m <y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|}$

I

${\ Displaystyle S (A, P, z) \ geq XV (z) \ lewo (f_ {1} \ lewo ({\ Frac {\ log y} {\ log z}} \ prawej) -O \ lewo ({{ \frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m <y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.}$