Twierdzenie Kaca-Bernsteina

Kaca – Bernsteina jest jednym z pierwszych twierdzeń charakteryzujących statystykę matematyczną . Łatwo zauważyć, że jeśli zmienne losowe $i$ i mają $rozkład$ normalny z tą samą wariancją, to ich suma i różnica są również niezależne Twierdzenie Kaca-Bernsteina mówi, że niezależność sumy i różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych charakteryzuje rozkład normalny ( Gaussa dystrybucja). Twierdzenie to zostało niezależnie udowodnione przez polsko-amerykańskiego matematyka Marka Kaca i radzieckiego matematyka Siergieja Bernsteina .

Sformułowanie

Niech i $zmiennymi$$losowymi$ . Jeśli $i$$($ Displaystyle \ xi $+ \ eta}$ są to i $rozkłady$ Gaussa ) dystrybucja).

Uogólnienie

Uogólnieniem twierdzenia Kaca – Bernsteina jest twierdzenie Darmoisa – Skitovicha , w którym zamiast sumy i różnicy brane są pod uwagę formy liniowe z n niezależnych zmiennych losowych.

• Kac M. „O charakterystyce rozkładu normalnego”, American Journal of Mathematics . 1939. 61. s. 726-728.
• Bernstein SN „O właściwości charakteryzującej rozkład Gaussa”, Proceedings of the Leningrad Polytechnic Institute . 1941. V. 217, nr 3. s. 21—22.