Twierdzenie Kaplansky'ego o formach kwadratowych
W matematyce twierdzenie Kaplansky'ego o formach kwadratowych jest wynikiem równoczesnej reprezentacji liczb pierwszych przez formy kwadratowe . Udowodnił to w 2003 roku Irving Kaplansky .
Stwierdzenie twierdzenia
Twierdzenie Kaplansky'ego mówi, że liczba pierwsza p zgodna z 1 modulo 16 jest reprezentowana przez oba lub żadne z x 2 + 32 y 2 i x 2 + 64 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p zgodna z 9 modulo 16 jest reprezentowana przez dokładnie jedną z tych liczb kwadratowych formy.
Jest to niezwykłe, ponieważ liczby pierwsze reprezentowane przez każdą z tych form z osobna nie są opisywane przez warunki kongruencji.
Dowód
Dowód Kaplansky'ego wykorzystuje fakty, że 2 jest czwartą potęgą modulo p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest reprezentowalne przez x 2 + 64 y 2 , a −4 jest modulo p ósmej potęgi wtedy i tylko wtedy, gdy p jest reprezentowalne przez x 2 + 32 y 2 .
Przykłady
- Liczba pierwsza p = 17 jest zgodna z 1 modulo 16 i nie może być reprezentowana ani przez x 2 + 32 y 2 , ani przez x 2 + 64 y 2 .
- Liczba pierwsza p = 113 jest przystająca do 1 modulo 16 i jest reprezentowana zarówno przez x 2 + 32 y 2 , jak i x 2 + 64 y 2 (ponieważ 113 = 9 2 + 32×1 2 i 113 = 7 2 + 64×1 2 ).
- Liczba pierwsza p = 41 jest zgodna z 9 modulo 16 i jest reprezentowana przez x 2 + 32 y 2 (ponieważ 41 = 3 2 + 32×1 2 ), ale nie przez x 2 + 64 y 2 .
- Liczba pierwsza p = 73 jest przystająca do 9 modulo 16 i jest reprezentowana przez x 2 + 64 y 2 (ponieważ 73 = 3 2 + 64×1 2 ), ale nie przez x 2 + 32 y 2 .
Podobne wyniki
Znanych jest pięć wyników podobnych do twierdzenia Kaplansky'ego:
- Liczba pierwsza p przystająca do 1 modulo 20 jest reprezentowana przez obie lub żadną z x 2 + 20 y 2 i x 2 + 100 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p przystająca do 9 modulo 20 jest reprezentowana przez dokładnie jedną z tych form kwadratowych.
- Liczba pierwsza p przystająca do 1, 16 lub 22 modulo 39 jest reprezentowana przez oba lub żadne z x 2 + xy + 10 y 2 i x 2 + xy + 127 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p przystająca do 4, 10 lub 25 modulo 39 jest reprezentowany przez dokładnie jedną z tych form kwadratowych.
- Liczba pierwsza p przystająca do 1, 16, 26, 31 lub 36 modulo 55 jest reprezentowana przez oba lub żadne z x 2 + xy + 14 y 2 i x 2 + xy + 69 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p przystająca do 4, 9 , 14, 34 lub 49 modulo 55 jest reprezentowane przez dokładnie jedną z tych form kwadratowych.
- Liczba pierwsza p przystająca do 1, 65 lub 81 modulo 112 jest reprezentowana przez oba lub żadne z x 2 + 14 y 2 i x 2 + 448 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p przystająca do 9, 25 lub 57 modulo 112 jest reprezentowana przez dokładnie jedną z tych form kwadratowych.
- Liczba pierwsza p przystająca do 1 lub 169 modulo 240 jest reprezentowana przez oba lub żadne z x 2 + 150 y 2 i x 2 + 960 y 2 , podczas gdy liczba pierwsza p przystająca do 49 lub 121 modulo 240 jest reprezentowana przez dokładnie jedną z tych liczb kwadratowych formy.
Przypuszcza się, że nie ma innych podobnych wyników obejmujących określone formy.