Twierdzenie Lapunowa-Malkina

Twierdzenie Lapunowa-Malkina (nazwane na cześć Aleksandra Lapunowa i Ioela Malkina ) jest matematycznym twierdzeniem szczegółowo opisującym stabilność systemów nieliniowych.

Twierdzenie

W układzie równań różniczkowych

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = Ax + X (x, y), \ quad {\ kropka {y} }=Y(x,y)}$

gdzie ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ i ${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ są składnikami stanu systemu, $m}}$ jest macierzą reprezentującą dynamikę $liniową$ i ${\ Displaystyle X: \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}} i$ Y $\ displaystyle Y:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} reprezentują wyrazy nieliniowe wyższego rzędu$ . Jeśli wszystkie wartości własne macierzy mają ujemne części rzeczywiste, a X ( x , y ), Y ( x , y ) znikają, gdy ZA $\ displaystyle A}$ x = 0, to rozwiązanie x = 0, y = 0 tego układu jest stabilne względem ( x , y ) i asymptotycznie stabilne względem x . Jeśli rozwiązanie ( x ( t ), y ( t )) jest wystarczająco bliskie rozwiązaniu x = 0, y = 0, to

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} x (t) = 0, \ quad \ lim _ {t \ do \ infty} y (t) = c.}$

Przykład

Rozważ pole wektorowe podane przez

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = - x + x ^ {2} y, \ quad {\ kropka {y}} = xy ^ { 2}}$

W tym przypadku A = -1 i X (0, y ) = Y (0, y ) = 0 dla wszystkich y , więc układ ten spełnia hipotezę twierdzenia Lapunowa-Malkina.

Poniższy rysunek przedstawia wykres tego pola wektorowego wraz z niektórymi trajektoriami, które przechodzą w pobliżu (0,0). Zgodnie z oczekiwaniami twierdzenia można zauważyć, że trajektorie w sąsiedztwie (0,0) zbiegają się do punktu w postaci (0, c ).