Twierdzenie Liego-Palaisa
W geometrii różniczkowej twierdzenie Lie-Palais stwierdza, że działanie skończenie-wymiarowej algebry Liego na gładkiej , zwartej rozmaitości można podnieść do działania skończenie-wymiarowej grupy Liego . W przypadku rozmaitości z brzegiem działanie musi zachować granicę, innymi słowy pola wektorowe na granicy muszą być styczne do granicy. Palais ( 1957 ) udowodnił to jako globalną postać wcześniejszego twierdzenia lokalnego dzięki Sophus Lie .
Przykład pola wektorowego d / dx na otwartym przedziale jednostkowym pokazuje, że wynik jest fałszywy dla rozmaitości niezwartych.
Bez założenia, że algebra Liego jest skończenie wymiarowa, wynik może być fałszywy. Milnor (1984 , s. 1048) podaje następujący przykład za sprawą Omoriego: algebra Liego to wszystkie pola wektorowe f ( x , y )∂/∂ x + g ( x , y )∂/∂y działające na torus R 2 / Z 2 takie, że sol ( x , y ) = 0 dla 0 ≤ x ≤ 1/2. Ta algebra Liego nie jest algebrą Liego żadnej grupy. Pestov (1995) podaje nieskończenie wymiarowe uogólnienie twierdzenia Liego-Palaisa dla algebr Banacha-Lie ze środkiem o skończonych wymiarach.
- Milnor, John Willard (1984), „Uwagi na temat nieskończenie wymiarowych grup Lie”, Teoria względności, grupy i topologia, II (Les Houches, 1983) , Amsterdam: North-Holland, s. 1007–1057, MR 0830252 Przedruk w pracach zebranych tom 5.
- Palais, Richard S. (1957), „Globalne sformułowanie teorii Lie grup transformacji”, Memoirs of the American Mathematical Society , 22 : iii + 123, ISBN 978-0-8218-1222-8 , ISSN 0065-9266 , MR 0121424
- Pestov, Vladimir (1995), „regularne grupy kłamstw i twierdzenie Lie-Palais”, Journal of Lie Theory , 5 (2): 173–178, arXiv : funct-an/9403004 , Bibcode : 1994funct.an..3004P , ISSN 0949-5932 , MR 1389427