Twierdzenie Parthasarathy'ego

W matematyce - aw szczególności w badaniu gier na kwadracie jednostkowym - twierdzenie Parthasarathy'ego jest uogólnieniem twierdzenia o minimaksie von Neumanna . Stwierdza, że ​​dana klasa gier ma wartość mieszaną, pod warunkiem, że przynajmniej jeden z graczy ma strategię ograniczoną do absolutnie ciągłych rozkładów względem miary Lebesgue'a (innymi słowy, jednemu z graczy nie wolno używać czysta strategia ).

Twierdzenie przypisuje się indyjskiemu matematykowi Thiruvenkatachari Parthasarathy'emu .

Twierdzenie

Niech ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle Y}$ oznaczają przedział jednostkowy ${\ Displaystyle [0,1]}$ ; ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X}}$ oznacza zbiór rozkładów prawdopodobieństwa na (ze zdefiniowanym ${\ mathcal {M}} _ {Y}$$Displaystyle$ podobnie); i $_$ _ absolutnie ciągłe $rozkłady$$na$ ( z zdefiniowanymi

$, y$ , że $\ razy Y$ do kwadratu jednostkowego i że ${\ Displaystyle k (x, y)}$ jest ciągłe , chyba że na a skończona liczba krzywych postaci ${\ Displaystyle y = \ phi _ {k} (x)}$ (gdzie ${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, n}$ ) gdzie ${\ Displaystyle \ phi _ {k} (x)}$ są funkcjami ciągłymi. Dla ${\ Displaystyle \ mu \ w M_ {X}, \ lambda \ w M_ {Y}}$ , zdefiniuj

${\ Displaystyle k (\ mu, \ lambda) = \ int _ {y = 0} ^ {1} \ int _ {x = 0} ^ {1} k (x, y) \, d \ mu (x) \,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d \mu (x).}$

Następnie

${\ Displaystyle \ max _ {\ mu \ in {\ mathcal {M}} _ {X}} \, \ inf _ {\ lambda \ in A_ {Y}} k (\ mu, \ lambda) = \ inf _ {\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu,\lambda).}$

$że$ to równoważne stwierdzeniu, przez Zauważ, że jeden gracz ( WLOG ${\ displaystyle Y}$ ) nie może używać czystej strategii.

Parthasarathy dalej pokazuje grę, w której

${\ Displaystyle \ max _ {\ mu \ w {\ mathcal {M} }_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu,\lambda)\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal { M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu,\lambda)}$

który w ten sposób nie ma żadnej wartości. Nie ma sprzeczności, ponieważ w tym przypadku żaden z graczy nie jest ograniczony do absolutnie ciągłych rozkładów (a wykazanie, że gra nie ma wartości, wymaga od obu graczy stosowania czystych strategii).

• T. Parthasarathy 1970. O grach na placu jednostkowym , SIAM , tom 19, numer 2.