Twierdzenie o kuli Reeba

W matematyce stwierdza to twierdzenie o kuli Reeba , nazwane na cześć Georgesa Reeba

Zamknięta zorientowana połączona rozmaitość M ⁿ , która dopuszcza osobliwą foliację mającą tylko środki, jest homeomorficzna w stosunku do kuli S ⁿ , a foliacja ma dokładnie dwie osobliwości.

Foliowanie Morse'a

Osobliwość foliacji F jest typu Morse'a , jeśli w jej małym sąsiedztwie wszystkie liście foliacji są zbiorami poziomów funkcji Morse'a , przy czym osobliwość jest punktem krytycznym tej funkcji. Osobliwość jest centrum , jeśli jest lokalnym ekstremum funkcji; w przeciwnym razie osobliwość jest siodłem .

Liczba środków c i liczba siodeł $powiązana$ w szczególności $rozmaitości$ z topologią

Oznaczamy $\ Displaystyle \ operatorname {ind} p = \ min (k, nk)}$ $,$ indeks osobliwości , gdzie k jest indeksem odpowiedniego punktu krytycznego funkcji Morse’a. W szczególności centrum ma indeks 0, indeks siodełka wynosi co najmniej 1.

Foliacja Morse'a F na rozmaitości M jest pojedynczą, poprzecznie zorientowaną foliacją o jednym wymiarze, klasy z izolowanymi osobliwościami, takimi jak: do ${\ displaystyle C ^ {2}$

każda osobliwość F jest typu Morse'a,
każdy pojedynczy liść L zawiera niepowtarzalną osobliwość p ; ponadto, jeśli ${\ displaystyle \ operatorname {ind} p = 1$ $to$ nie jest

Twierdzenie o kuli Reeba

$siodeł$ tak w przypadku

: Niech $będzie$ zamkniętą $połączoną$ o Załóżmy, że $przyznaje$ się zorientowany kowymiar jeden foliację $wszystkie$ zbiorem osobliwości, z których $.$ $Następnie$ zbiór osobliwy się z dwóch punktów i $jest homeomorficzny w stosunku$ ${\ displaystyle S ^ {n}$ kuli. }

Jest to konsekwencja twierdzenia o stabilności Reeba .

Uogólnienie

Bardziej ogólny przypadek to do $\ displaystyle c> s \ geq 0.}$

W 1978 roku Edward Wagneur uogólnił twierdzenie o kuli Reeba na foliacje Morse'a z siodłami. Pokazał $że$ zbyt duża w z liczbą siodeł, zwłaszcza Są więc dokładnie dwa przypadki, gdy: do $\ displaystyle c> s}$ :

(1)

{\ displaystyle c = s + 2,}

(2)

{\ displaystyle c = s + 1.}

Otrzymał opis rozmaitości dopuszczający foliację z osobliwościami spełniającymi (1).

Niech $będzie zwartą rozmaitością połączoną$ $,$ $w$ $której$ się foliację Morse'a i . Następnie do ${\ displaystyle c \ równoważnik s +$ } : W przypadku do $\ displaystyle c = s + 2$ }

$homeomorficzny$ do , $\ displaystyle S ^ {n}$ }
wszystkie siodła posiadają indeks 1,
każdy $.$ liść

Wreszcie w 2008 roku César Camacho i Bruno Scardua rozważyli ten przypadek (2), ${\ displaystyle c=s+1}$ . Jest to możliwe w niewielkiej liczbie niskich wymiarów.

Twierdzenie: Niech $będzie$ zwartą rozmaitością połączoną i $foliacją$ na $displaystyle M}$ . Jeśli ${\ displaystyle s = c + 1}$ , to

${\ Displaystyle n = 2,4,8}$ lub ${\ Displaystyle 16$ }
jest rozmaitością $Eellsa$ .

^ Reeb, Georges (1946), „Sur les pointinguliers d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une foction numérique”, CR Acad. Nauka. Paryż (w języku francuskim), 222 : 847–849, MR 0015613 .
^ Wagneur, Edward (1978), „Formes de Pfaff à singularités non dégénérées” , Annales de l'Institut Fourier (po francusku), 28 (3): xi, 165–176, MR 0511820 .
^ Camacho, Cesar; Scárdua, Bruno (2008), „O foliacjach z osobliwościami Morse’a”, Proceedings of the American Mathematical Society , 136 (11): 4065–4073, arXiv : math/0611395 , doi : 10.1090/S0002-9939-08-09371-4 , MR 2425748 .

[1] Reeb, Georges (1946), „Sur les pointinguliers d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une foction numérique”, CR Acad. Nauka. Paryż (w języku francuskim), 222 : 847–849, MR 0015613 .

[2] Wagneur, Edward (1978), „Formes de Pfaff à singularités non dégénérées” , Annales de l'Institut Fourier (po francusku), 28 (3): xi, 165–176, MR 0511820 .

[3] Camacho, Cesar; Scárdua, Bruno (2008), „O foliacjach z osobliwościami Morse’a”, Proceedings of the American Mathematical Society , 136 (11): 4065–4073, arXiv : math/0611395 , doi : 10.1090/S0002-9939-08-09371-4 , MR 2425748 .