Twierdzenie Segre'a

do definicji skończonego owalu: styczna, ${\ Displaystyle s_ {1}, ... s_ {n}}$${\ displaystyle t}$ siecznych, ${\ Displaystyle n}$ to kolejność płaszczyzny rzutowej (liczba punktów na linii -1)

W geometrii rzutowej twierdzenie Segre'a , nazwane na cześć włoskiego matematyka Beniamino Segre'a , jest stwierdzeniem:

• Każdy owal w skończonej pappiana płaszczyźnie rzutowej nieparzystego rzędu jest niezdegenerowanym rzutowym przekrojem stożkowym .

Twierdzenie to zostało przyjęte w 1949 r. przez dwóch fińskich matematyków G. Järnefelta i P. Kustaanheimo, a jego dowód został opublikowany w 1955 r. przez B. Segre.

Skończoną płaszczyznę rzutową Pappiana można sobie wyobrazić jako rzutowe zamknięcie płaszczyzny rzeczywistej (przez prostą w nieskończoności), gdzie liczby rzeczywiste są zastępowane przez skończone pole K . Kolejność nieparzysta oznacza, że ​​| K. | = n jest nieparzyste. Owal jest krzywą podobną do koła (patrz definicja poniżej): dowolna prosta przecina go co najwyżej w 2 punktach, a przez dowolny jej punkt przechodzi dokładnie jedna styczna. Standardowymi przykładami są niezdegenerowane rzutowe przekroje stożkowe.

W płaszczyznach rzutowych Pappiana parzystego rzędu większych od czterech występują owale, które nie są stożkami. W nieskończonej płaszczyźnie istnieją owale, które nie są stożkami. W rzeczywistej płaszczyźnie wystarczy skleić płynnie połówkę koła i odpowiednią elipsę .

Przedstawiony poniżej dowód twierdzenia Segre'a wykorzystuje 3-punktową wersję twierdzenia Pascala oraz własność skończonego pola nieparzystego rzędu, mianowicie, że iloczyn wszystkich niezerowych elementów jest równy -1.

Definicja owalu

Główny artykuł: Owal (płaszczyzna rzutowa)

• W płaszczyźnie rzutowej zbiór $nazywa$ się owalnym , jeśli:

(1) Dowolna prosta $\$ się $Displaystyle {\ mathfrak {o}}}$ najwyżej w dwóch punktach.

Jeśli $mathfrak {o}} | = 0}$$\$ linia jest linią zewnętrzną (lub mijającą ); w przypadku ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathfrak {o}} | = 1}$ linia styczna i jeśli ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathfrak {o}} | = 2}$ linia jest linia sieczna .

( 2) Dla dowolnego punktu $,$ jedna styczna $∩$ P tj. $\ Displaystyle$ .

Dla płaszczyzn skończonych (tj. zbiór punktów jest skończony) mamy wygodniejszą charakterystykę:

• Dla skończonej płaszczyzny rzutowej rzędu n ( tj. każda linia zawiera n + 1 punktów) zbiór $gdy$ jest owalem wtedy i tylko wtedy, ${\ Displaystyle | {\ mathfrak {o}}|= n + 1}$ i żadne trzy punkty nie są współliniowe (na wspólnej linii).

3-punktowa wersja Pascala

dla dowodu ${\ Displaystyle g_ {\ infty}}$ jest styczną w ${\ Displaystyle P_ {3}}$

Twierdzenie

Niech będzie $charakterystycznej$ w płaszczyźnie rzutowej Pappiana o ≠ $\ Displaystyle \ neq 2}$ . jest niezdegenerowanym stożkiem wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi stwierdzenie (P3) : ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}}}$

(P3): Niech będzie dowolnym trójkątem na $}$$P_ {3}$${\ Displaystyle {\ overline {P_ {i} P_ {i}}}}$ styczna w punkcie ${\ Displaystyle P_ {i}}$ do ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}}}$ , a następnie punkty

${\ Displaystyle P_ {4}: = {\ overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}},\ P_{5}:={\overline {P_{2}P_{2}}} \cap {\overline {P_{1}P_{3}}},\ P_{6}:={\overline {P_{3}P_{3}}}\cap {\overline {P_{1}P_{ 2}}}}$

są współliniowe.

do dowodu 3-punktowego twierdzenia Pascala

Dowód

$_$ płaszczyzna $że$ niejednorodnie polu tak _ ${\ Displaystyle P_ {3}, \ (0,0) \ w {\ mathfrak {o}}}$ oś x jest styczną w punkcie ${\ Displaystyle ( ( 0,0)}$ i
${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}}}$ zawiera punkt ${\ Displaystyle (1,1)}$ . Ponadto ustalamy ${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \; P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}) \ .}$ (p. obraz) Owal ${ \ Displaystyle {\ mathfrak {o}}}$ można opisać funkcją taką, że ${\ Displaystyle f: K \ mapsto K}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} = \ {(x, y) \ w K ^ {2} \;|\; y = f (x) \} \ \ kubek \ {(\ infty) \} \ ;.}$

Styczna w punkcie zostanie opisana za pomocą funkcji takiej, że jej równanie to ${0})} }$$\ Displaystyle (x_ {0}, f$

${\ Displaystyle y = f '(x_ {0}) (xx_ {0}) + f (x_ {0})}$

Stąd (patrz zdjęcie)

${\ Displaystyle P_ {5} = (x_ {1}, f '(x_ {2}) ( x_{1}-x_{2})+f(x_{2}))}$ i ${\ Displaystyle P_ {4} = (x_ {2}, f' (x_ {1}) (x_ {2} -x_ {1}) + f (x_ {1})} \;.}$

ja: jeśli $fa$ niezdegenerowanym stożkiem, mamy $\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ i $x) = 2x}$$Displaystyle$ i łatwo obliczyć, współliniowe

II: Jeśli jest owalem z właściwością (P3) $,$ nachylenie linii ${\ overline {P_ {4} P_ {5}} }}$ jest równe nachyleniu linii , co oznacza: ${\ Displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {2}}}}$

${\ Displaystyle f '(x_ {2}) + f' (x_ {1}) - {\ Frac {f (x_ {2}) -f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1 }}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$ stąd

(i): ${\ Displaystyle (f '(x_ {2}) + f' (x_ {1})} (x_ {2} -x_ {1}) = 2 (f (x_ {2}) - f (x_ {1} })}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ w K}$ .

Z ${\ Displaystyle f (0) = f' (0) = 0}$ dostaje się

(ii): ${\ Displaystyle f' (x_ {2}) x_ {2} = 2f (x_ {2})}$ i od ${\ Displaystyle f (1) = 1}$ otrzymujemy

(iii): ${\ displaystyle f' (1) = 2 \;.}$

(i) i (ii) wydajność

(iv): ${\ Displaystyle f '(x_ {2}) x_ {1} = f' (x_ {1}) x_ {2}}$ a przy (iii) przynajmniej otrzymujemy

(v): ${\ Displaystyle f' (x_ {2}) = 2x_ {2}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x_ {2}\w K}$ .

Konsekwencją (ii) i (v) jest

${\ Displaystyle f (x_ {2}) = x_ {2} ^ {2}, \; x_ {2} \ w K}$ .

Stąd $stożek$ jest niezdegenerowany.

Uwaga: Własność (P3) jest spełniona dla dowolnego owalu w płaszczyźnie rzutowej Pappiana o charakterystyce 2 z jądrem (wszystkie styczne spotykają się w jądrze). Stąd w tym przypadku (P3) jest również prawdziwe dla owali niestożkowych.

Twierdzenie Segre'a i jego dowód

Twierdzenie

Każdy owal $rzutowej$ płaszczyźnie Pappiana o nieparzystym porządku jest niezdegenerowanym przekrojem stożkowym.

sol $\ infty} = {\ overline {P_ {2} P_ {3}}}}$

Twierdzenie Segre'a: do dowodu

Dowód

Dla dowodu pokażemy, że owal ma własność (P3) 3-punktowej wersji twierdzenia Pascala.

Niech będzie dowolnym trójkątem na $}$${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}$ i ${\ Displaystyle P_ {4}, P_ {5}, P_ {6}}$ zdefiniowane jak opisano w (P3) . Płaszczyzna $,$ będzie skoordynowana niejednorodnie na skończonym polu tak że ${\ Displaystyle P_ {3} = (\ infty), \; P_ {2} = (0), \; P_ {1} = (1, 1)$ i ${\ Displaystyle (0,0)}$ jest wspólnym punktem stycznych w i ${\ Displaystyle P_ {2}}$ i ${\ Displaystyle P_ {3}}$ . Owal $pomocą$ opisać za bijekcji funkcja ${\ Displaystyle f: K ^ {*}: = K \ kubek \ setminus \ {0 \} \ mapsto K ^ {*}}$ :

${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} = \ {(x, y) \ w K ^ {2} \;|\; y = f (x), \; x \ neq 0 \} \; \ kubek \ ;\{(0),(\infty)\}\;.}$

$_$ punktu _ ${\ Displaystyle m (x) = {\ tfrac {f (x) -1} {x-1}}}$ jest nachyleniem siecznej ${\ Displaystyle {\ overline {PP_ {1}}} \;.}$ Ponieważ obie funkcje ${\ Displaystyle x \ mapsto f (x) -1}$ i ${\ displaystyle x \ mapsto x -1}$ to bijekcje od ${\ Displaystyle K \ setminus \ {0,1 \}}$ do ${\ Displaystyle K \ setminus \ {0, - 1\}}$ , i ${\ Displaystyle x \ mapsto m (x)}$ bijekcja z ${\ Displaystyle K \ setminus \ {0,1 \}}$ na ${\ displaystyle K \ setminus \ {0, m_ {1} \}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$$gdzie$$:$ nachyleniem stycznej w , dla ${\ Displaystyle K ^ {**}: = K \ setminus \ {0,1 \} \;:}$ otrzymujemy

${\ Displaystyle \ prod _ {x \ w K ^ {**}} (f (x) -1) = \ prod _ {x \ w K ^ {**}} (x-1) = 1 \ quad { \text{und}}\quad m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=-1\; .}$

(Uwaga: dla ${\ Displaystyle K ^ {*}: = K \ setminus \ {0 \}}$ mamy: ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ prod _{k\in K^{*}}k=-1\;.}$ ) Stąd

${\ Displaystyle -1 = m_ {1} \ cdot \ prod _ {x \ w K ^ {**}} {\ frac {f (x) -1} {x-1}} = m_ {1} \ cdot {\ Frac {\ Displaystyle \ prod _ {x \ w K ^ {**}} (f (x) -1)} {\ Displaystyle \ prod _ {x \ w K ^ {**}} (x-1 )}}=m_{1}\;.}$

Ponieważ nachylenia linii i $\ Displaystyle {\$$}}}$$P_ {1}$ oba są ${\ Displaystyle -1}$ , wynika z tego, że ${\ Displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {1}}} \ cap {\ overline {P_ {2} P_ {3}}} = P_ {4} \ w {\ overline {P_ {5} P_ { 6}}}}$ . Dotyczy to każdego trójkąta ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3} \ in {\ mathfrak {o}}}$ .

Zatem: (P3) 3-punktowego twierdzenia Pascala jest spełnione, a owal jest stożkiem niezdegenerowanym.

Źródła

• B. Segre : Owale w skończonej płaszczyźnie rzutowej , Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), s. 414–416.
• G. Järnefelt & P. ​​Kustaanheimo: Obserwacja skończonych geometrii , Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), s. 166–182.
•   Albrecht Beutelspacher , Ute Rosenbaum: Geometria projektowa. 2. Auflaż. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X , s. 162.
•   P. Dembowski : Geometrie skończone. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8 , s. 149

Linki zewnętrzne

• Simeon Ball i Zsuzsa Weiner: wprowadzenie do skończonej geometrii [1] s. 17.