Twierdzenie Spechta

W matematyce twierdzenie Spechta podaje warunek konieczny i wystarczający, aby dwie macierze zespolone były jednostkowo równoważne . Jej nazwa pochodzi od Wilhelma Spechta , który udowodnił to twierdzenie w 1940 roku.

dwie macierze A i B z liczbami zespolonymi są jednostkowo równoważne , jeśli istnieje macierz unitarna U taka, że ​​B = U * AU . Dwie macierze, które są jednostkowo równoważne, są również podobne . Dwie podobne macierze reprezentują tę samą mapę liniową , ale w odniesieniu do innej bazy ; równoważność jednostkowa odpowiada zmianie z bazy ortonormalnej na inną bazę ortonormalną.

Jeśli A i B są jednostkowo równoważne, to tr AA * = tr BB *, gdzie tr oznacza ślad (innymi słowy, norma Frobeniusa jest niezmiennikiem unitarnym). Wynika to z niezmienniczości cyklicznej śladu: jeśli B = U * AU , to tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA *, gdzie drugą równością jest niezmienność cykliczna.

Tak więc tr AA * = tr BB * jest warunkiem koniecznym równoważności jednostkowej, ale niewystarczającym. Twierdzenie Spechta daje nieskończenie wiele warunków koniecznych, które razem są również wystarczające. Sformułowanie twierdzenia wykorzystuje następującą definicję. Słowo w dwóch zmiennych, powiedzmy x i y , jest wyrażeniem formy

${\ Displaystyle W (x, y) = x ^ {m_ {1}} y ^ {n_ {1}} x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

gdzie m ₁ , n ₁ , m ₂ , n ₂ , …, m _p są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Stopień tego słowa jest

${\ Displaystyle m_ {1} + n_ {1} + m_ {2} + n_ {2} + \ cdots + m_ {p}.}$

Twierdzenie Spechta: Dwie macierze A i B są jednostkowo równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) dla wszystkich słów W .

Twierdzenie daje nieskończoną liczbę tożsamości śladowych, ale można je sprowadzić do skończonego podzbioru. Niech n oznacza rozmiar macierzy A i B . Dla przypadku n = 2 wystarczą następujące trzy warunki:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} \, A = \ nazwa operatora {tr} \, B, \ quad \ nazwa operatora {tr} \, A ^ {2} = \ nazwa operatora {tr} \, B ^ {2}, \ quad {\text{and}}\quad \nazwa_operatora {tr} \,AA^{*}=\nazwa_operatora {tr} \,BB^{*}.}$

Dla n = 3 wystarczających jest siedem następujących warunków:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ nazwa operatora {tr} \, A = \ nazwa operatora {tr} \, B, \ quad \ nazwa operatora {tr} \, A ^ {2} = \ nazwa operatora {tr} \, B^{2},\quad \nazwa_operatora {tr} \,AA^{*}=\nazwa_operatora {tr} \,BB^{*},\quad \nazwa_operatora {tr} \,A^{3}=\ nazwa_operatora {tr} \,B^{3},\\&\nazwa_operatora {tr} \,A^{2}A^{*}=\nazwa_operatora {tr} \,B^{2}B^{*} ,\quad \nazwa_operatora {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\nazwa_operatora {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2} ,\quad {\text{i}}\quad \nazwa_operatora {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\nazwa_operatora {tr} \,B^ {2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{wyrównane}}}$  

Dla ogólnego n wystarczy pokazać, że tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) najwyżej dla wszystkich słów stopnia

${\ Displaystyle n {\ sqrt {{\ Frac {2n ^ {2}} {n-1}} + {\ Frac {1} {4} }}}+{\frac {n}{2}}-2.}$  

Przypuszczano, że można to sprowadzić do wyrażenia liniowego w n .

Notatki

•   Đoković, Dragomir Ž.; Johnson, Charles R. (2007), „Jednostkowo osiągalne wzorce zerowe i ślady słów w A i A *”, Algebra liniowa i jej zastosowania , 421 (1): 63–68, doi : 10.1016 / j.laa.2006.03. 002 , ISSN 0024-3795 .
•   Freedman, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), „Twierdzenie Shirshova i reprezentacje półgrup”, Pacific Journal of Mathematics , 181 (3): 159–176, doi : 10.2140 / pjm.1997.181.159 , ISSN 0030-8730 .
•   Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Analiza macierzy , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .
•   Pappacena, Christopher J. (1997), „Górna granica długości algebry skończonych wymiarów”, Journal of Algebra , 197 (2): 535–545, doi : 10.1006 / jabr.1997.7140 , ISSN 0021-8693 .
• Sibirskiǐ, KS (1976), Niezmienniki algebraiczne równań różniczkowych i macierzy (po rosyjsku), Izdat. „Štiinca”, Kiszyniów .
•   Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 50 : 19–23, ISSN 0012-0456 .