Lemat o wymianie Steinitza

Lemat o wymianie Steinitza jest podstawowym twierdzeniem algebry liniowej używanym na przykład do wykazania, że ​​dowolne dwie bazy skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej mają taką samą liczbę elementów. Wynik został nazwany na cześć niemieckiego matematyka Ernsta Steinitza . Wynik jest często nazywany lematem wymiany Steinitza – Mac Lane'a , uznając również uogólnienie przez Saundersa Mac Lane'a lematu Steinitza na matroidy .

Oświadczenie

Niech i $będą$$.$$_$ przestrzeni _ Jeśli $}$ zbiorem liniowo niezależnych wektorów i obejmuje , to: ${$$displaystyle W$

1. ${\ Displaystyle | U | \ równoważnik | W |}$ ;

2. Istnieje zestaw ${\ Displaystyle W'\ subseteq W}$ z ${\ Displaystyle | W'|=| W|-| U|}$ takie, że ${\ Displaystyle U \ kubek W'}$ obejmuje ${\ Displaystyle V}$ .

Dowód

Załóżmy, że ${\ Displaystyle U = \ {u_ {1}, \ kropki, u_ {m} \}}$ i ${\ Displaystyle W =\{w_{1},\kropki,w_{n}\}}$ . Chcemy pokazać, że dla każdego mamy to $\ {0, \ kropki, m \}}$ k ${\ Displaystyle k \ równoważnik n}$ i że zestaw ${n} \}}$${\ Displaystyle \ {u_ {1}, \ kropka, u_ {k}, w_ {k +$$1 }, \ kropka,$$}}$$obejmuje$ ( gdzie prawdopodobnie zostały zmienione, a zmiana kolejności zależy od w $styl wyświetlania k}$ ). Postępujemy indukcyjnie na ${\ displaystyle k}$ .

$wynosi$ w przypadku podstawowym zero. W tym przypadku twierdzenie jest aktualne $n} \}}$ ponieważ nie ma wektorów , a zbiór $…$${\ Displaystyle \ {w_ {1}, \ kropka,$ obejmuje hipotezę ${\ displaystyle V} .$

Dla kroku indukcyjnego załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego ${\ displaystyle k <m}$ . ponieważ ${\ Displaystyle u_ {k + 1} \ w V}$ i ${\ Displaystyle \ {u_ {1} \ ldots, u_ {k}, w_ {k + 1}, \ ldots, w_ {n} \}}$ obejmuje ${\ Displaystyle V}$ (na podstawie hipotezy indukcyjnej) istnieją współczynniki takie, że ${\ Displaystyle \ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {n}}$

${\ Displaystyle u_ {k + 1} = \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ mu _{j}u_{j}+\suma _{j=k+1}^{n}\mu _{j}w_{j}}$ .

$\ mu _ {k + 1}, \ ldots, \ mu _ {n} \}}$ 1 musi być niezerowe, ponieważ w przeciwnym razie równość byłaby sprzeczna z liniową niezależnością ${\ Displaystyle \ {u_ {1}, \ ldots, u_ {k + 1} \}}$ ; zauważ, że dodatkowo oznacza to, że ${\ Displaystyle k + 1 \ równoważnik n}$ . Zmieniając kolejność ${\ Displaystyle \ mu _ {k + 1} w_ {k + 1}, \ ldots, \ mu _ {n} w_ {n}}$$,$ możemy założyć, zero Dlatego mamy

${\ Displaystyle w_ {k + 1} = {\ frac {1}{\mu _{k+1}}}\left(u_{k+1}-\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}-\sum _{j=k+2}^{n}\mu _{j}w_{j}\right)}$ .

Innymi słowy, $\ Displaystyle \$ rozpiętości ${$ . Ten ostatni rozpiętość zawiera zatem każdy z wektorów ${\ Displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {k}, w_ {k + 1}, w_ {k + 2}, \ ldots, w_ {n}}$ , a zatem musi zawierać rozpiętość tych ostatnich wektorów jako podzbiór. Ale ponieważ ta ostatnia rozpiętość to $indukcyjną$ ), oznacza to po prostu, że rozpiętość ${\ Displaystyle \ {u_ {1}, \ ldots, u_ {k + 1}, w_ {k + 2}, \ ldots, w_ {n} \}} zawiera V {\ Displaystyle$ V $jako$ podzbiór (tak jest ${\ Displaystyle V}$ ). Pokazaliśmy zatem, że nasze twierdzenie jest prawdziwe w przypadku $,$ indukcyjny

Pokazaliśmy zatem, że dla każdego $}$ i że k $\ Displaystyle k \ w \ {0, \ kropki, m \$ zestaw ${\ Displaystyle \ {u_ {1}, \ kropka, u_ {k}, w_ {k + 1}, \ kropka, w_ {n}\}}$ obejmuje $k$$displaystyle V}$ (gdzie prawdopodobnie zmieniono kolejność, a zmiana kolejności zależy od $\ displaystyle k}$ )

Fakt $ustawienia$$_$ z _

---

$podkreślany$ Niezmiennik pętli hipotezą indukcyjną na następna iteracja. Jeśli ${\ Displaystyle k + 2> n}$$oznacza$ to właściwy podzbiór $\ displaystyle U}$ U ${\ Displaystyle U_ {0}}$$Displaystyle U_$ obejmuje ${\ Displaystyle V}$ , a niektóre liniową kombinacją ${0}}$$U_$ , więc może być liniowo niezależny, co jest sprzecznością.

Aplikacje

Lemat o wymianie Steinitza jest podstawowym wynikiem matematyki obliczeniowej , zwłaszcza algebry liniowej i algorytmów kombinatorycznych .

• Julio R. Bastida, Rozszerzenia pól i teoria Galois , Addison – Wesley Publishing Company (1984).

Linki zewnętrzne

• Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/vectsp_9.html#T19