Twierdzenie o ciągłości modułu Lévy'ego

Twierdzenie Lévy'ego o module ciągłości jest twierdzeniem , które daje wynik o prawie pewnym zachowaniu oszacowania modułu ciągłości dla procesu Wienera , który jest używany do modelowania tak zwanego ruchu Browna .

Twierdzenie o ciągłości modułu Lévy'ego nosi imię francuskiego matematyka Paula Lévy'ego .

Oświadczenie o wyniku

Niech ${\ Displaystyle B: [0,1] \ razy \ Omega \ do \ mathbb {R}}$ będzie standardowym procesem Wienera. Wtedy prawie na pewno

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} \ sup _ {t, t '\ równoważnik 1; | tt' |\ równoważnik h} {\ Frac {| B_ {t'}-B_{t}|}{\sqrt {2h\log(1/h)}}}=1.}$

Innymi słowy, przykładowe ścieżki ruchu Browna mają moduł ciągłości

${\ Displaystyle \ omega _ {B} (\ delta) = {\ sqrt {2 \ delta \ log (1/\ delta)}}}$

z prawdopodobieństwem jeden i dla wystarczająco małych ${\ displaystyle \ delta > 0}$ .

Zobacz też

• Niektóre właściwości przykładowych ścieżek procesu Wienera

• Paul Pierre Lévy, Théorie de l'addition des variables aléatoires. Gauthier-Villars, Paryż (1937).