Twierdzenie o jądrze Peano

W analizie numerycznej twierdzenie o jądrze Peano jest ogólnym wynikiem na granicach błędów dla szerokiej klasy przybliżeń numerycznych (takich jak kwadratury numeryczne ), zdefiniowanych za pomocą funkcjonałów liniowych . Przypisuje się go Giuseppe Peano .

Oświadczenie

Niech $będzie$ przestrzenią wszystkich funkcji , są różniczkowalne na $\ Displaystyle$$(a, b)},$ mają ograniczoną wariację na $\ Displaystyle [a, b]}$ i niech ${\ displaystyle L}$ funkcją liniową na ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} [a, b]}$ . Załóżmy $displaystyle L}$ że to unicestwia wszystkie wielomiany stopnia, tj. $\$

$${\ Displaystyle Lp = 0, \ qquad \ forall p \ w \ mathbb {P} _ {\ nu} [x].}$$

Załóżmy dalej, że dla dowolnej funkcji dwuwymiarowej z $,$$^ {\ nu + 1} [ a,b]} , obowiązuje$ :

$${\ Displaystyle L \ int _ {a} ^ {b} g (x, \ teta) \, d \ teta = \ int _ {a} ^ {b} Lg (x, \ teta) \, d \ teta,$$

i zdefiniuj jądro $_$ jako

$${\ Displaystyle k (\ teta) = L [(x- \ teta) _ {+} ^ {\ nu}], \ qquad \ teta \ w [a, b],}$$

za pomocą notacji

$${\ Displaystyle (x- \ teta) _ {+} ^ {\ nu} = {\ rozpocząć {przypadki} (x - \ teta) ^ {\ nu}, & x \ geq \ teta, \\ 0, i x \ równoważnik \theta .\end{przypadki}}}$$

Twierdzenie o jądrze Peano stwierdza, że ​​jeśli , to $b]$ każdej funkcji, która jest różniczkowalna w sposób ciągły , $} [a,$ ∈ V [ za , $Displaystyle k \ in {\$

$${\ Displaystyle Lf = {\ Frac {1} {\ nu!}} \ int _ {a} ^ {b} k (\ teta) f ^ {(\ nu +1)} (\ teta) \, d \ teta.}$$

Miedza

Z tego wyniku wynika kilka ograniczeń wartości : ${\ displaystyle Lf}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | Lf | & \ równoważnik {\ Frac {1} {\ nu!}} \| k \ |_ {1} \ | f ^ {(\nu +1)}\|_{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\| f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\| f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{wyrównane}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {1}}$ , ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {2}}$ i ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {\ infty}}$ to taksówka , normy euklidesowe i maksymalne odpowiednio.

Aplikacja

o jądrze $.$ jest ograniczenie błędu przybliżenia, które jest Powyższe twierdzenie wynika z wielomianu Taylora dla z resztą całkowitą: ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (x) = f (a) + {} i (xa) f' (a) + {\ Frac {(xa) ^ {2}} {2}} f'' (a) + \ cdots \\ [6pt] & \ cdots + {\ Frac { (xa)^{\nu }}{\nu!}}f^{\nu }(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{wyrównane}}}$

definiując jako błąd przybliżenia, używając liniowości $wraz$ dokładnością dla $unicestwienia$$wszystkich oprócz ostatniego członu$ po i używając notacji $+}}$${$ aby usunąć granic całki

Zobacz też

• Podzielone różnice