Twierdzenie o powierzchni (odwzorowanie konforemne)

W matematycznej teorii odwzorowań konforemnych twierdzenie o powierzchni daje nierówność spełnianą przez współczynniki szeregów potęgowych pewnych odwzorowań konforemnych. Twierdzenie nosi tę nazwę nie ze względu na jego implikacje, ale raczej dlatego, że w dowodzie używa się pojęcia pola .

Oświadczenie

Załóżmy, że jest ${$ i iniekcyjny w przebitym otwartym dysku jednostkowym $f}$ reprezentację szeregów potęgowych \

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {1} {z}} + \ suma _ {n = 0 }^{\infty }a_{n}z^{n},\qquad z\in \mathbb {D} \setminus \{0\},}$

wtedy współczynniki spełniają. ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2} \ równoważnik 1.}$

Dowód

Ideą dowodu jest spojrzenie na obszar odkryty przez obraz ${\ displaystyle f}$ . zdefiniuj dla ${\ Displaystyle r \ w (0,1)}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {r} (\ teta): = f (r \, e ^ {-i \ teta}), \ qquad \ teta \ w [0,2 \ pi].}$

Wtedy $jest$ zamkniętą krzywą na płaszczyźnie Niech ${\ Displaystyle D_ {r}}$ oznacza unikalny ograniczony połączony składnik do ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ gamma _ {r} ([$ . Istnienie i wyjątkowość $z$ twierdzenia Jordana o .

Jeśli jest dziedziną na płaszczyźnie, której granicą jest gładka prosta zamknięta krzywa ${\ displaystyle \ gamma}$ , to re ${\$

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (D) = \ int _ {\ gamma} x \, dy = - \ int _ { \gamma }y\,dx\,,}$

pod warunkiem, że $}$ pozytywnie zorientowany wokół ${\ displaystyle \ gamma$ . Wynika to łatwo na przykład z twierdzenia Greena . Jak wkrótce zobaczymy, $jest$ zorientowany dodatnio wokół $} styl wyświetlania \gamma _{r}}$ i to jest powód znaku minus w definicji $r}$ ). Po zastosowaniu reguły łańcuchowej i wzoru na , powyższe wyrażenia dla obszaru dają ${\ displaystyle \ gamma _ {r}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (D_ {r}) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ Re {\ bigl (} f (re ^ {-i \ theta}) {\ bigr)} \,\Im {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}\,d\theta =- \int _{0}^{2\pi}\Im {\bigl (}f(re^{-i\theta}){\bigr )}\,\Re {\bigl (}-i\,r\ ,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}d\theta .}$

Dlatego obszar $równy średniej z dwóch wyrażeń$ prawej stronie. Po uproszczeniu daje to efekt

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }f(r\,e^{-i\theta })\, {\overline {r\,e^{-i\theta}\,f'(r\,e^{-i\theta})}}\,d\theta,}$

gdzie oznacza złożoną koniugację . ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ Ustawiamy i używamy $1}$ szeregu potęg dla , ${\ Displaystyle a_ {-1} =$ uzyskać za

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (D_ {r}) = - {\ Frac {1} {2}} \, \ Re \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ suma _ {n = -1 }^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,a_{n}\,{\overline {a_{m}}}\, e^{i\,(mn)\,\theta }\,d\theta \,.}$

(Ponieważ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,|a_{n}|\,|a_ {m}|\,d\theta <\infty \,,}$ przegrupowanie terminów jest uzasadnione.) Teraz zauważ, że ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {i \, (mn) \, \ theta} \, d \ theta}$ wynosi ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ , jeśli ${\ Displaystyle n = m}$ i wynosi zero W przeciwnym razie. Dlatego dostajemy

${\ Displaystyle \ operatorname {obszar} (D_ {r}) = - \ pi \ suma _ {n = -1} ^ {\ infty} n \, r ^ {2n} \, | a_ {n} | ^ { 2}.}$

Obszar $wyraźnie$ . Dlatego prawa strona jest dodatnia. Ponieważ za $\ Displaystyle a_ {-1} = 1}$ , pozwalając ${\ Displaystyle r \ do 1}$ , następuje teraz twierdzenie.

${\ displaystyle$ uzasadnić twierdzenie, że jest pozytywnie zorientowany wokół $\ gamma _ {r}}$ . Niech ${\ displaystyle r'}$ zadowoli ${\ displaystyle r <r' <1}$ i ustaw ${\ Displaystyle z_ {0} = f (r')}$ , mowić. Dla bardzo $napisać$$sprawdzić$ wyrażenie $to$ liczby uzwojeń wokół i jest równa ${\ displaystyle 1}$ . Ponieważ nie przechodzi przez $\ Displaystyle$$t$$\ neq r'}$ jak jest ${\ displaystyle f} γ t {\ Displaystyle \ gamma _ {t$ } $displaystyle$ w dopełnieniu implikuje, że liczba uzwojenia wokół $\ gamma _ {r}}$ wokół ${\ displaystyle z_ {0}} }}$ jest również ${\ displaystyle 1}$ . Oznacza to, że i że ${\ displaystyle$ zorientowany dodatnio wokół , $\ in$ z_ $}$ jako wymagane.

Używa

Nierówności spełniane przez współczynniki szeregów potęgowych odwzorowań konforemnych były przedmiotem dużego zainteresowania matematyków przed rozwiązaniem hipotezy Bieberbacha . Twierdzenie o obszarze jest w tym kontekście głównym narzędziem. Co więcej, twierdzenie o powierzchni jest często używane do udowodnienia twierdzenia Koebe 1/4 , co jest bardzo przydatne w badaniu geometrii odwzorowań konforemnych.

•     Rudin, Walter (1987), Analiza rzeczywista i złożona (wyd. 3), Nowy Jork: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1 , MR 0924157 , OCLC 13093736