Twierdzenie o przesunięciu

W matematyce twierdzenie o przesunięciu (wykładniczym) jest twierdzeniem o wielomianowych operatorach różniczkowych ( operatorach D ) i funkcjach wykładniczych . Pozwala to wyeliminować, w niektórych przypadkach, wykładniczy spod operatorów D.

Oświadczenie

Twierdzenie stwierdza, że ​​jeśli P ( D ) jest operatorem wielomianu D , to dla dowolnej dostatecznie różniczkowalnej funkcji y ,

${\ Displaystyle P (D) (e ^ {ax} y) \ równoważnik e ^ {ax} P (D + a) y.}$

Aby udowodnić wynik, postępuj przez indukcję . Należy pamiętać, że tylko w szczególnym przypadku

${\ Displaystyle P (D) = D ^ {n}}$

, ponieważ ogólny wynik wynika z liniowości operatorów D.

Wynik jest oczywiście prawdziwy dla n = 1, ponieważ

${\ Displaystyle D (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) y.}$

Załóżmy teraz, że wynik jest prawdziwy dla n = k , to znaczy

${\ Displaystyle D ^ {k} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) ^ {k} y.}$

Następnie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D ^ {k + 1} (e ^ {ax} y) & \ equiv {\ Frac {d} {dx}} \ lewo \ {e ^ {ax} \ lewo (D +a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{ k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{ \left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+ a)^{k+1}y.\end{wyrównane}}}$

To kończy dowód.

Twierdzenie o przesunięciu można równie dobrze zastosować do operatorów odwrotnych:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {P (D)}} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} {\ Frac {1} {P (D + a)}} y.}$

Powiązany

Istnieje podobna wersja twierdzenia o przesunięciu dla transformat Laplace'a ( ${\ displaystyle t <a}$ ):

${\ Displaystyle e ^ {-as} {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ mathcal {L}} \ {f (ta) \}.}$

Przykłady

Twierdzenie o przesunięciu wykładniczym można wykorzystać do przyspieszenia obliczania wyższych pochodnych funkcji, które daje iloczyn funkcji wykładniczej i innej. Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle f (x) = \ sin (x) e ^ {x}}$ , ma się to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D ^ {3} f & = D ^ {3} ( e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D ^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\ sin(x)\right)\end{wyrównane}}}$$

Innym zastosowaniem twierdzenia o przesunięciu wykładniczym jest rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych , których charakterystyczny wielomian ma powtarzające się pierwiastki.

Notatki

•    Morris, Tenenbaum; Pollard, Harry (1985). Równania różniczkowe zwyczajne: podstawowy podręcznik dla studentów matematyki, inżynierii i nauk ścisłych . Nowy Jork: Dover Publications. ISBN 0486649407 . OCLC 12188701 .