Twierdzenie o równoważności optycznej

Twierdzenie o równoważności optycznej w optyce kwantowej stwierdza równoważność między wartością oczekiwaną operatora w przestrzeni Hilberta a wartością oczekiwaną związanej z nim funkcji w sformułowaniu przestrzeni fazowej w odniesieniu do rozkładu quasi-prawdopodobieństwa . Twierdzenie zostało po raz pierwszy opisane przez George'a Sudarshana w 1963 roku dla operatorów normalnie uporządkowanych i uogólnione później tej dekady na dowolne uporządkowanie.

Niech Ω będzie uporządkowaniem nieprzemiennych operatorów tworzenia i anihilacji i niech $\ Displaystyle g _ {\ Omega} ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a} }^{\dagger })}$ będzie operatorem dającym się wyrazić jako szereg potęgowy w operatorach kreacji i anihilacji, który spełnia porządek Ω. Następnie twierdzenie o równoważności optycznej jest zwięźle wyrażone jako

${\ Displaystyle \ langle g _ {\ Omega} ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}) \ rangle = \ langle g_ {\ Omega} (\ alfa, \ alfa ^ { *})\szereg .}$

Tutaj α jest rozumiane jako wartość własna operatora anihilacji w stanie koherentnym i jest formalnie zastępowane w rozwinięciu szeregu potęgowego g . Lewa strona powyższego równania jest wartością oczekiwaną w przestrzeni Hilberta, podczas gdy prawa strona jest wartością oczekiwaną w odniesieniu do rozkładu quasi-prawdopodobieństwa.

Możemy napisać każdy z nich wyraźnie dla lepszej przejrzystości. Niech będzie operatorem gęstości $i$ będzie odwrotnością porządkowania $}}$ . Rozkład quasi-prawdopodobieństwa związany z Ω jest zatem dany, przynajmniej formalnie, przez

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ rho}} = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int f_ {\ bar {\ Omega}} (\ alfa, \ alfa ^ {*}) | \ alfa \ rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .}$

Powyższe równanie w ramce staje się

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} ({\ kapelusz {\ rho}} \ cdot g_ {\ Omega} ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}}) = \ int f_ {\bar {\Omega}}(\alfa,\alfa ^{*})g_{\Omega}(\alfa,\alfa ^{*})\,d^{2}\alfa.}$

Na przykład niech Ω będzie porządkiem normalnym . Oznacza to, że g można zapisać w szeregu potęgowym o następującej postaci:

${\ Displaystyle g_ {N} ({\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}, {\ kapelusz {a}}) = \ suma _ {n, m} c_ {nm} {\ kapelusz {a}} ^ {\sztylet n}{\kapelusz {a}}^{m}.}$

Rozkład quasi-prawdopodobieństwa związany z porządkiem normalnym to reprezentacja P Glaubera-Sudarshana . W tych kategoriach dochodzimy do

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} ({\ kapelusz {\ rho}} \ cdot g_ {N} ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet})) = \ int P (\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

Twierdzenie to implikuje formalną równoważność między wartościami oczekiwanymi operatorów normalnie uporządkowanych w optyce kwantowej i odpowiadającymi im liczbami zespolonymi w optyce klasycznej.