Reprezentacja Glaubera – Sudarshana P

Sudarshana -Glaubera jest sugerowanym sposobem zapisania rozkładu przestrzeni fazowej układu kwantowego w sformułowaniu przestrzeni fazowej mechaniki kwantowej. Reprezentacja P jest rozkładem quasi-prawdopodobieństwa , w którym obserwable są wyrażone w porządku normalnym . W optyce kwantowej ta reprezentacja, formalnie równoważna kilku innym reprezentacjom, jest czasami preferowana w stosunku do takich alternatywnych reprezentacji do opisu światła w optycznej przestrzeni fazowej , ponieważ typowe obserwable optyczne, takie jak operator liczby cząstek , są naturalnie wyrażane w normalnym porządku. Został nazwany na cześć George'a Sudarshana i Roya J. Glaubera , którzy pracowali nad tym tematem w 1963 roku. Pomimo wielu przydatnych zastosowań w teorii laserów i teorii koherencji, reprezentacja P Glaubera-Sudarshana ma tę właściwość, że nie zawsze jest dodatnia i nie jest wiarygodna funkcja prawdopodobieństwa.

Definicja

Chcemy skonstruować funkcję ${\ Displaystyle P (\ alfa$ ${\ Displaystyle \ {|\ alfa \ rangle \}}$ , że macierz gęstości jest ukośna na podstawie koherentnych . $)$ , tj.

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ rho}} = \ int P (\ alfa) | {\ alfa} \ rangle \ langle {\ alfa} |\, d ^ {2} \ alfa, \ qquad d ^ {2} \alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Im}}(\alpha).}

Chcemy również skonstruować funkcję w taki sposób, aby wartość oczekiwana operatora normalnie uporządkowanego spełniała twierdzenie o równoważności optycznej . Oznacza to, że macierz gęstości powinna być w antynormalnym , abyśmy mogli wyrazić macierz gęstości jako szereg potęgowy

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ rho}} _ {A} = \ suma _ {j, k} c_ {j, k} \ cdot {\ kapelusz {a}} ^ {j} {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet k}.}

Wstawianie operatora tożsamości

{\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int | {\ alfa} \ rangle \ langle {\ alfa} |\, d ^ {2} \ alfa,}

widzimy to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho _ {A} ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}) & = {\ Frac {1} {\ pi}} \sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\kapelusz {a}}^{j}|{\alpha}\rangle \langle {\alpha}|{\kapelusz {a}} ^{\sztylet k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\ int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha}\rangle \langle {\alpha}|\,d^{2 }\alpha \\&={\frac {1}{\pi}}\int \rho _{A}(\alpha,\alpha ^{*})|{\alpha}\rangle \langle {\alpha} |\,d^{2}\alpha ,\end{wyrównane}}}

i tak formalnie przypisujemy

{\ Displaystyle P (\ alfa) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ rho _ {A} (\ alfa, \ alfa ^ {*}).}

Bardziej użyteczne wzory całkowe dla $P$ są niezbędne do wszelkich praktycznych obliczeń. Jedną z metod jest zdefiniowanie funkcji charakterystycznej

\ Displaystyle \ chi _ {N} (\ beta) = \ operatorname {tr} ({\ kapelusz {\rho}}\cdot e^{i\beta \cdot {\kapelusz {a}}^{\sztylet}}e^{i\beta ^{*}\cdot {\kapelusz {a}}})}

a następnie weź transformatę Fouriera

{\ Displaystyle P (\ alfa) = {\ Frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ int \ chi _ {N} (\ beta) e ^ {- \ beta \ alfa ^ {*} + \ beta ^{*}\alfa }\,d^{2}\beta .}

Innym użytecznym wzorem całkowym dla $P$ jest

{\ Displaystyle P (\ alfa) = {\ Frac {e ^ {|\ alfa | ^ {2}}} {\ pi ^ {2}}} \ int \ langle - \ beta | {\ kapelusz {\ rho} }|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}

Należy zauważyć, że obie te formuły całkowe nie są zbieżne w zwykłym znaczeniu dla „typowych” systemów. Możemy również użyć $Focka$ w podstawie ${\ Displaystyle \ {| n \ rangle \}}$ . Poniższy wzór pokazuje, że zawsze można zapisać macierz gęstości w tej postaci diagonalnej bez odwoływania się do porządków operatorskich za pomocą inwersji (podanej tutaj dla pojedynczej postaci),

{\ Displaystyle P (\ alfa) = \ suma _ {n} \ suma _ {k} \ langle n | {\ kapelusz {\ rho}} | k \ rangle {\ frac {\ sqrt {n! k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(nk)\theta }\left[\left(-{\frac {\częściowy}}{\częściowy r}}\prawo)^{n+k}\delta (r)\prawo],}

gdzie $r$ i $θ$ to amplituda i faza $α$ . Chociaż jest to w pełni formalne rozwiązanie tej możliwości, wymaga nieskończenie wielu pochodnych funkcji delta Diraca , daleko poza zasięgiem jakiejkolwiek zwykłej teorii rozkładu temperowanego .

Dyskusja

Jeśli układ kwantowy ma klasyczny analog, np. stan koherentny lub promieniowanie cieplne , to $P$ jest wszędzie nieujemne, jak zwykły rozkład prawdopodobieństwa. Jeśli jednak układ kwantowy nie ma klasycznego analogu, np. niespójnego stanu Focka lub układu splątanego , to $P$ jest gdzieś ujemne lub bardziej osobliwe niż funkcja delta Diraca. (Zgodnie z twierdzeniem Schwartza rozkłady bardziej osobliwe niż funkcja delta Diraca są zawsze gdzieś ujemne). Takie „ ujemne prawdopodobieństwo „lub wysoki stopień osobliwości jest cechą charakterystyczną reprezentacji i nie umniejsza sensowności wartości oczekiwanych przyjmowanych w odniesieniu do $P$ . Nawet jeśli $P$ zachowuje się jak zwykły rozkład prawdopodobieństwa, sprawa nie jest jednak taka prosta. Według do Mandela i Wolfa $one$ „Różne spójne stany nie są [wzajemnie] ortogonalne, więc nawet gdyby jak prawdziwa gęstość prawdopodobieństwa [funkcja], nie opisywałyby wzajemnie wykluczające się stany”.

Przykłady

Promieniowanie cieplne

Z argumentów mechaniki statystycznej w podstawie Focka wiadomo , że średnia liczba fotonów modu z wektorem falowym $k$ i stanem polaryzacji $s$ dla ciała doskonale czarnego w temperaturze $T wynosi$

{\ Displaystyle \ langle {\ kapelusz {n}} _ {\ mathbf {k}, s} \ rangle = {\ Frac {1} {e ^ {\ hbar \ omega / k_ {B} T} -1}} .}

P ciała $doskonale$ czarnego to

{\ Displaystyle P (\ {\ alfa _ {\ mathbf {k}, s} \}) = \ prod _ {\ mathbf {k}, s} {\ Frac {1} {\ pi \ langle {\ kapelusz { n}}_{\mathbf {k},s}\rangle}}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\kapelusz {n}}_{\mathbf {k},s}\ zakres }.}

Innymi słowy, każdy mod ciała doskonale czarnego ma rozkład normalny na bazie stanów koherentnych. Ponieważ $P$ jest dodatnie i ograniczone, system ten jest zasadniczo klasyczny. Jest to właściwie dość niezwykły wynik, ponieważ dla równowagi termicznej macierz gęstości jest również diagonalna w bazie Focka, ale stany Focka są nieklasyczne.

Wysoce osobliwy przykład

Nawet bardzo prosto wyglądające stany mogą wykazywać wysoce nieklasyczne zachowanie. Rozważ superpozycję dwóch spójnych stanów

{\ Displaystyle |\ psi \ rangle = c_ {0}|\ alfa _ {0} \ rangle + c_ {1} | \ alfa _ {1} \ rangle}

gdzie $0 c, c 1$ są stałymi podlegającymi ograniczeniu normalizującemu

{\ Displaystyle 1 = | c_ {0} | ^ {2} + | c_ {1} | ^ {2} + 2e ^ {- (| \ alfa _ {0} | ^ {2} + | \ alfa _ { 1}|^{2})/2}\nazwa operatora {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1} }\Prawidłowy).}

Zauważ, że różni się to znacznie od kubitu , ponieważ ${\ Displaystyle |\ alpha _ {0} \ rangle}$ i ${\ Displaystyle |\ alpha _ {1} \ rangle}$ nie są ortogonalne. Ponieważ łatwo jest obliczyć ${\ Displaystyle \ langle -\ alfa | {\ kapelusz {\ rho}} | \ alfa \ rangle = \ langle - \ alfa | \ psi \ rangle \ langle \ psi |\ alfa \ rangle} , możemy użyć wzoru$ Mehty powyżej, aby obliczyć $P$ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (\ alfa) = {} & | c_ {0} | ^ {2} \ delta ^ {2} (\ alfa - \ alfa _ {0}) + | c_ {1 }|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2 }}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \częściowe /\częściowe (2\alpha ^{*}-\alpha _{0} ^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \częściowy /\częściowy (2\alpha -\alpha _ {0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{ 0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1 }{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \częściowe /\ częściowe (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0} )\cdot \częściowy /\częściowy (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{wyrównane}}}

Pomimo posiadania nieskończenie wielu pochodnych funkcji delta, $P$ nadal spełnia twierdzenie o równoważności optycznej. Jeśli na przykład wartość oczekiwana operatora liczbowego zostanie wzięta w odniesieniu do wektora stanu lub jako średnia w przestrzeni fazowej w odniesieniu do $P$ , dwie wartości oczekiwane są zgodne:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ psi | {\ kapelusz {n}} | \ psi \ rangle & = \ int P (\ alfa) | \ alfa | ^ {2} \, d ^ {2} \alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{ 0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\nazwa_operatora {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0} ^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{wyrównane}}}

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia

Mandel, L. ; Wolf, E. (1995), Spójność optyczna i optyka kwantowa , Cambridge UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2