Twierdzenie o skończoności Ahlforsa

W matematycznej teorii grup Kleinowskich twierdzenie Ahlforsa o skończoności opisuje iloraz dziedziny nieciągłości przez skończenie wygenerowaną grupę Kleinowską. Twierdzenie zostało udowodnione przez Larsa Ahlforsa ( 1964 , 1965 ), poza luką, którą wypełnił Greenberg (1967) .

Twierdzenie Ahlforsa o skończoności stwierdza, że ​​jeśli Γ jest skończenie wygenerowaną grupą Kleina z obszarem nieciągłości Ω, to Ω/Γ ma skończoną liczbę składowych, z których każdy jest zwartą powierzchnią Riemanna ze skończoną liczbą usuniętych punktów.

Nierówność obszaru Bersa

obszaru Bersa jest ilościowym udoskonaleniem twierdzenia Ahlforsa o skończoności udowodnionym przez Lipmana Bersa ( 1967a ). Stwierdza, że ​​jeśli Γ jest nieelementarną, skończenie wygenerowaną grupą Kleinowską z N generatorami i obszarem nieciągłości Ω, to

Powierzchnia (Ω/Γ) ≤ 4π( N − 1)

z równością tylko dla grup Schottky'ego . (Powierzchnia jest określona przez metrykę Poincarégo w każdym składniku.) Ponadto, jeśli Ω ₁ jest składnikiem niezmiennym, to

Powierzchnia (Ω/Γ) ≤ 2 Powierzchnia (Ω ₁ /Γ)

z równością tylko dla grup Fuchsa pierwszego rodzaju (więc w szczególności mogą istnieć co najwyżej dwa niezmienne składniki).

•     Ahlfors, Lars V. (1964), „skończenie generowane grupy Kleinowskie”, American Journal of Mathematics , 86 : 413–429, doi : 10.2307/2373173 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373173 , MR 0167618
•     Ahlfors, Lars (1965), „Korekta do„ skończenie generowanych grup Kleinowskich ” , American Journal of Mathematics , 87 : 759, doi : 10.2307/2373073 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373073 , MR 0180675
•    Bers, Lipman (1967a), „Nierówności dla skończenie generowanych grup Kleinowskich”, Journal d'Analyse Mathématique , 18 : 23–41, doi : 10.1007/BF02798032 , ISSN 0021-7670 , MR 0229817
•     Bers, Lipman (1967b), „O twierdzeniu o skończoności Ahlforsa”, American Journal of Mathematics , 89 : 1078–1082, doi : 10.2307/2373419 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373419 , MR 0222282
•     Greenberg, L. (1967), „O twierdzeniu Ahlforsa i sprzężonych podgrupach grup Kleinowskich”, American Journal of Mathematics , 89 : 56–68, doi : 10.2307/2373096 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373096 , MR 0209471