Twierdzenie o strukturze Cohena

W matematyce twierdzenie o strukturze Cohena , wprowadzone przez Cohena ( 1946 ), opisuje strukturę kompletnych lokalnych pierścieni Noethera .

Niektóre konsekwencje twierdzenia o strukturze Cohena obejmują trzy przypuszczenia Krulla :

• Każdy pełny regularny ekwicharakterystyczny lokalny pierścień noetherowski jest pierścieniem formalnych szeregów potęgowych nad polem. (Ekwicharakterystyka oznacza, że ​​pierścień lokalny i jego pole resztkowe mają tę samą charakterystykę i są równoważne z pierścieniem lokalnym zawierającym pole).
• Każdy kompletny regularny lokalny pierścień noetherowski, który nie jest ekwicharakterystyczny, ale jest nierozgałęziony, jest jednoznacznie określony przez jego pole resztkowe i jego wymiar.
• Każdy kompletny pierścień lokalny noetherowski jest obrazem kompletnego regularnego pierścienia lokalnego noetherowskiego.

Oświadczenie

Najczęściej używanym przypadkiem twierdzenia Cohena jest przypadek, gdy cały lokalny pierścień Noethera zawiera jakieś pole. W tym przypadku twierdzenie Cohena o strukturze stwierdza, że ​​pierścień ma postać k [[ x ₁ ,..., x _n ]]/( I ) dla pewnego ideału I , gdzie k jest jego polem klasy reszt.

W nierównym charakterystycznym przypadku, gdy cały lokalny pierścień Noetherowski nie zawiera pola, twierdzenie Cohena o strukturze stwierdza, że ​​​​pierścień lokalny jest ilorazem pierścienia formalnego szeregu potęgowego w skończonej liczbie zmiennych po pierścieniu Cohena z tym samym polem reszty co lokalny pierścień. Pierścień Cohena to pole lub pełny charakterystyczny zerowy dyskretny pierścień wartościowania , którego ideał maksymalny jest generowany przez liczbę pierwszą p (równą charakterystyce pola pozostałości).

W obu przypadkach najtrudniejszą częścią dowodu Cohena jest wykazanie, że cały lokalny pierścień noetherowski zawiera pierścień współczynników (lub pole współczynników ), co oznacza kompletny pierścień (lub pole) wartościowania dyskretnego z tym samym polem reszty co pierścień lokalny.

Cały ten materiał został starannie opracowany w projekcie Stacks „Projekt Stacks — Tag 0323” . stacks.math.columbia.edu . Źródło 2018-08-13 . .

•     Cohen, Irvin Sol (1946), „O strukturze i idealnej teorii kompletnych pierścieni lokalnych”, Transactions of the American Mathematical Society , 59 : 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990313 , MR 0016094 Artykuł Cohena został napisany, gdy „lokalny pierścień” oznaczał to, co obecnie nazywa się „lokalnym pierścieniem noetherowskim”.
•   Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale , Mémor. nauka Matematyka, tom. 123, Gauthier-Villars, MR 0054995