Twierdzenie o wartości początkowej

W analizie matematycznej twierdzenie o wartości początkowej jest twierdzeniem używanym do powiązania wyrażeń w dziedzinie częstotliwości z zachowaniem w dziedzinie czasu, gdy czas zbliża się do zera .

Pozwalać

${\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \ dt}$

być (jednostronną) transformatą Laplace'a ƒ ( t ). fa $($$\ Displaystyle$ mi do $f} ^ {ct})}$ ) i ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} f (t)}$ istnieje, to mówi twierdzenie o wartości początkowej

${\ Displaystyle \ lim _ {t \, \ do \, 0} f (t) = \ lim _ {s \ do \ infty} {sF (s)}.}$

Dowody

Dowód za pomocą twierdzenia o zbieżności zdominowanej i przy założeniu, że funkcja jest ograniczona

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} f (t) = \ alfa}$ najpierw, że ograniczony, tj. $t$ . ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \,$ mi }

${\ Displaystyle sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ lewo ({\ Frac {t} {s} }\right)e^{-t}\,dt}$ .

Ponieważ jest $ograniczony$ , sugeruje to twierdzenie zbieżności zdominowanej

${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do \ infty} sF (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alfa e ^ {-t} \, dt = \ alfa.}$

Dowód za pomocą rachunku różniczkowego i przy założeniu, że funkcja jest ograniczona

Oczywiście nie potrzebujemy tutaj DCT, można podać bardzo prosty dowód używając tylko elementarnego rachunku różniczkowego:

Zacznij od wybrania ∫ $\$$Displaystyle \ int _ {A} ^ {\ infty} e ^ {- t} \, dt <\$ } następnie zauważ, że ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do \ infty} f \ lewo ({\ Frac {t} {s}} \ prawej) = \ alfa}$ równomiernie dla ${\ displaystyle t \ w (0, A]}$ .

Uogólnienie na funkcje nieograniczone, które mają porządek wykładniczy

Twierdzenie zakładające właśnie, że wynika z twierdzenia o ograniczonym : $}$$Displaystyle f (t) = O (e ^ {ct})$ \

sol $) = e ^ {-ct} f (t)}$ . sol $(\ displaystyle g}$ jest ograniczony, więc pokazaliśmy, że $0 ^ {+}) = \ lim _ {s \ do \ infty }sG(s)}$ . Ale ${\ Displaystyle f (0 ^ {+}) = g (0 ^ {+})}$ i ${\ Displaystyle G (s) = F (s + c)}$ , Więc

${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do \ infty} sF (s) = \ lim _ {s \ do \ infty} (sc) F (s) = \ lim _ {s \ do \ infty} sF (s + c)=\lim _{s\to \infty}sG(s),}$

od ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do \ infty} F (s) = 0}$ .

Zobacz też

• Twierdzenie o wartości końcowej