Twierdzenie o wartości końcowej

W analizie matematycznej twierdzenie o wartości końcowej (FVT) jest jednym z kilku podobnych twierdzeń używanych do powiązania wyrażeń w dziedzinie częstotliwości z zachowaniem w dziedzinie czasu, gdy czas zbliża się do nieskończoności. Matematycznie, jeśli w czasie ciągłym ma (jednostronną) transformatę Laplace'a $,$$}$ twierdzenie o wartości końcowej ustala warunki, w których

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t) = \ lim _ {s \, \ do \, 0} {sF (S)}}$

Podobnie, jeśli w czasie dyskretnym ma (jednostronną) transformację Z $\ Displaystyle$$z)}$ , to twierdzenie o wartości końcowej określa warunki, w których fa [ k ] {\

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} f [k] = \ lim _ {z \ do 1} { (z-1)F(z)}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {s \, \ do \, 0} sF (s)}}$$wartości końcowej$$w$ zachowania w dziedzinie ) obliczenia . I odwrotnie, twierdzenie Taubera o wartości końcowej przyjmuje założenia dotyczące zachowania w dziedzinie częstotliwości $fa ( t$ obliczenia $} f (t)}$${t \ do$ (lub ${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} f [k]} )$ (patrz twierdzenia Abela i Taubera dla przekształceń całkowych ).

Twierdzenia o wartości końcowej dla transformaty Laplace'a

Dedukcja granicy _{t → ∞} fa ( t )

W poniższych stwierdzeniach notacja „ $do 0$ że ​​zbliża się , podczas gdy „ $\ Displaystyle$$s \ downarrow 0}$ „oznacza, że $}$${\ displaystyle s$ zbliża się do 0 poprzez liczby dodatnie.

Standardowe twierdzenie o wartości końcowej

Załóżmy, że każdy biegun znajduje się albo w otwartej lewej $)}$$fa$ początku i że ma co najwyżej jeden biegun. u źródła. Wtedy ${\ Displaystyle sF (s) \ do L \ w \ mathbb {R}}$ jak ${\ Displaystyle s \ do 0}$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t) = L}$ .

Twierdzenie o wartości końcowej z wykorzystaniem transformaty Laplace'a pochodnej

$transformaty$$,$ że oba _ $_$ _ Jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t)}$ istnieje i ${\ Displaystyle \ lim _ {s \, \ do \ , 0 {sF (s)}}$ istnieje wtedy ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t) = \ lim _ {s\,\do \,0}{sF(s)}}$ .

Uwaga

Obie granice muszą istnieć, aby twierdzenie było spełnione. Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle f (t) = \ sin (t)}$ to ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t)}$ nie istnieje, ale ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ \ do \ 0} {sF (s)} =\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0}$ .

Ulepszone twierdzenie Taubera o wartości końcowej

Załóżmy, że $}} }$ , i że $do {\ Displaystyle f: (0, \ infty) \ do$ jest również ograniczony do ${\ Displaystyle (0, \ infty)}$ . Jeśli ${\ Displaystyle sF (s) \ do L \ w \ mathbb {C}}$ jak ${\ Displaystyle s \ do 0}$ , to ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t) = L}$ .

Rozszerzone twierdzenie o wartości końcowej

Załóżmy, że każdy biegun z $jest$ albo w otwartej lewej półpłaszczyźnie Następnie zachodzi jedna z następujących sytuacji:

1. ${\ Displaystyle sF (s) \ do L \ w \ mathbb {R}}$ jak ${\ Displaystyle s \ downarrow 0}$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t) = L}$ .
2. ${\ Displaystyle sF (s) \ do + \ infty \ w \ mathbb {R}}$ jak ${\ Displaystyle s \ downarrow 0}$ i ${\ Displaystyle f (t) \ do + \ infty}$ jak ${\ Displaystyle t \ do \ infty}$ .
3. ${\ Displaystyle sF (s) \ do - \ infty \ w \ mathbb {R}}$ jak ${\ Displaystyle s \ downarrow 0}$ i ${\ Displaystyle f (t) \ do - \ infty}$ jak ${\ Displaystyle t \ do \ infty}$ .

W szczególności, jeśli $\$ biegunem wielokrotnym $Displaystyle F (s)}$${\ displaystyle f (t) ) \ do + \ infty}$ , wówczas zastosowanie ma przypadek 2 lub 3 ( lub ${\ Displaystyle f (t) \ do - \ infty}$ ).

Uogólnione twierdzenie o wartości końcowej

Załóżmy $przekształcić$ . Niech ${\ Displaystyle \ lambda > -1}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty}} {\ Frac {f (t)}} {t ^ {\ lambda}}}} istnieje$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ downarrow 0} {s ^ {\ lambda + 1} F (s)}}$ istnieje wtedy

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty}} {\ Frac {f (t) }{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\strzałka w dół 0}{s^{\lambda +1}F(s) }}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$ oznacza funkcję Gamma .

Aplikacje

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t)}$ zastosowanie w ustalaniu długoterminowej stabilności systemu .

Dedukcja   lim _{s → 0} s F ( s )

Abelowe twierdzenie o wartości końcowej

Załóżmy, że ${\ Displaystyle f: (0, \ infty) \ do \ mathbb {C}}$ jest ograniczony i mierzalny i ${\ displaystyle \ lim _{t\to \infty}f(t)=\alpha \in \mathbb {C}}$ . Wtedy $Displaystyle F (s)}$$\$ istnieje dla wszystkich lim $\ Displaystyle \ lim _ {s \, \ do$ .

Elementarny dowód

Załóżmy dla wygody, że ${\ Displaystyle | f (t) | \ równoważnik 1}$ na ${\ Displaystyle (0, \ infty)}$ i niech ${\ Displaystyle \ alpha = \ lim _{t\do \infty}f(t)}$ . Niech ${\ displaystyle \ epsilon > 0}$ i wybierz ${\ displaystyle A}$ tak, aby ${\ Displaystyle | f (t) - \ alfa | <\ epsilon}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle t> A}$ . ponieważ ${\ Displaystyle s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \, dt = 1}$ , dla każdego ${\ Displaystyle s> 0 }$ mamy

${\ Displaystyle sF (s) - \ alfa = s \ int _ {0} ^ {\ infty} (f (t) - \ alfa) e ^ {-st} \, dt;}$

stąd

${\ Displaystyle | sF (s) - \ alfa | \ równoważnik s \ int _ {0} ^ {A} | f (t) - \ alfa | e ^ {-st} \, dt + s \ int _ {A }^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,dt\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,dt+\epsilon s\ int _{A}^{\infty}e^{-st}\,dt=I+II.}$

Teraz dla każdego mamy ${\ displaystyle s> 0}$

${\ Displaystyle II <\ epsilon s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \ dt = \ epsilon$ .

Z drugiej strony, ponieważ nie udało się przeanalizować (SVG (MathML można włączyć za pomocą wtyczki przeglądarki): Nieprawidłowa odpowiedź („Rozszerzenie Math nie może połączyć się z Restbase.”) z serwera „/mathoid/local/v1/”:: {\ displaystyle A <\ infty} jest ustalone, jasne jest, że ${\ displaystyle \ lim _ {s \ do 0} I = 0}$ i tak ${\ Displaystyle | sF (s) - \ alfa | <\ epsilon},$ jeśli ${\ Displaystyle s> 0}$ jest wystarczająco małe.

Twierdzenie o wartości końcowej z wykorzystaniem transformaty Laplace'a pochodnej

Załóżmy, że spełnione są wszystkie poniższe warunki:

1. $}}$ jest różniczkowalna w sposób ciągły i zarówno ${\ displaystyle f},$ jak i ${\ displaystyle f'}$ mają Laplace'a przekształcać
2. ${\ displaystyle f'}$ jest absolutnie całkowalny - to znaczy ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f '(\ tau) | \, d \ tau}$ jest skończony
3. ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f (t)}$ istnieje i jest skończony

Następnie

${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do 0 ^ {+}} sF (s) = \ lim _ {t \ do \ infty} f (t)}$ .

Uwaga

Dowód wykorzystuje twierdzenie o zbieżności zdominowanej .

Twierdzenie o wartości końcowej dla średniej funkcji

Niech ${\ Displaystyle f: (0, \ infty) \ do \ mathbb {C}}$ będzie ciągłą i ograniczoną funkcją taką, że istnieje następująca granica

${\ Displaystyle \ lim _ {T \ do \ infty} {\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T }f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C} }$

Wtedy ${\ Displaystyle \ lim _ {s \, \ do \, 0, \, s> 0} {sF (s)} = \ alfa}$ .

Twierdzenie o wartości końcowej dla sum asymptotycznych funkcji okresowych

Załóżmy, że $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$$[0,\infty )$ ) . Suppose further that $f$ is asymptotically equal to a finite sum of periodic functions $f_{\mathrm {as} }$, that is

${\ Displaystyle | f (t) -f _ {\ operatorname {as}} (t) | <\ phi (t)}$

gdzie $∞$ absolutnie całkowalny w $\ Displaystyle [0, \ infty)}$ w nieskończoności Następnie

${\ Displaystyle \ lim _ {s \ do 0} sF (s) = \ lim _ {t \ do \ infty} {\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$ .

Twierdzenie o wartości końcowej dla funkcji rozbieżnej do nieskończoności

Niech ${\ Displaystyle f (t): [0, \ infty) \ do \ mathbb {R}}$ i ${\ Displaystyle F (s)}$ będzie Laplace'em transformacja ${\ displaystyle f (t)}$ . Załóżmy, że spełnia wszystkie następujące warunki: ${\ displaystyle f (t)}$

1. ${\ Displaystyle f (t)}$ jest nieskończenie różniczkowalna na zero
2. ${\ Displaystyle f ^ {(k)} (t)}$ ma transformatę Laplace'a dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych ${\ Displaystyle k}$
3. ${\ Displaystyle f (t)}$ rozbiega się do nieskończoności jako ${\ Displaystyle t \ do \ infty}$

Wtedy ${\ Displaystyle sF (s)}$ rozbiega się do nieskończoności jako ${\ Displaystyle s \ do 0 ^ {+}}$ .

Twierdzenie o wartości końcowej dla funkcji niewłaściwie całkowalnych ( Twierdzenie Abela dla całek)

Niech ${\ Displaystyle h: [0, \ infty ) \ do \ mathbb {R}}$ będzie mierzalne i takie, że całka (prawdopodobnie niewłaściwa) ${\ Displaystyle f (x): = \ int _ {0} ^ {x} h (t) \, dt}$ zbiega się dla ${\ Displaystyle x \ do \ infty}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) \, dt: = \ lim _ {x \ do \ infty} f (x) = \ lim _ {s \ downarrow 0} \ int _ {0}^{\infty}e^{-st}h(t)\,dt.}$

To jest wersja twierdzenia Abla .

Aby to zobaczyć, zauważ, że po całkowaniu przez części zastosuj twierdzenie o wartości końcowej do ${\ Displaystyle$$f' (t)$ h (t)} ${\ displaystyle s> 0}$ ,

${\ Displaystyle s \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) \, dt = {\ duży [} -e ^ {- st} f (t) {\ duży ]} _{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e ^{-st}h(t)\,dt.}$

Zgodnie z twierdzeniem o wartości końcowej lewa strona zbiega się do ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} f (x)}$ dla ${\ Displaystyle s \ do 0}$ .

$pomocny$ zbieżność całki niewłaściwej często test Dirichleta . Przykładem jest całka Dirichleta .

Aplikacje

$o wartości końcowej$ uzyskania mają zastosowanie w prawdopodobieństwie i losowej . Niech $będzie skumulowaną$$R (x)}$ dystrybucji ciągłej zmiennej losowej $Displaystyle$ będzie transformatą Laplace'a Stieltjesa ${\ Displaystyle R (x)}$ . Wtedy -ty moment można obliczyć jako ${\$$X}$

${\ Displaystyle E [X ^ {n}] = (-1) ^ {n} \ lewo. {\ Frac {d ^ {n} \ rho (s)} {ds ^ {n}}} \ prawo |_{s=0}}$

Strategia polega na pisaniu

$Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} \ rho (s )}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s), \dots {\bigr )}}$

gdzie $k$${$$i$ dla każdego Displaystyle dla funkcji ${\ Displaystyle F_ {k} (s)}$ . Dla każdego $\$ fa $Displaystyle f_ {k} (t)}$ jako odwrotną transformatę Laplace'a , uzyskaj ${\ Displaystyle F_ {k} (s)}$${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} f_ {k} (t)}$ i zastosuj twierdzenie o wartości końcowej, aby wywnioskować ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ \ do \ 0} {G_ {k} (s)} = \ lim _ {s \, \to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty}f_{k}(t)}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d ^ {n }\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0} G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\kropki,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}( s), \ kropki {\ Bigr )}}$

i stąd uzyskuje się mi $[X ^ {n}]} .$

Przykłady

Przykład, w którym obowiązuje FVT

Na przykład dla systemu opisanego funkcją przenoszenia

${\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {6} {s + 2}},}$

i tak odpowiedź impulsowa jest zbieżna do

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} h (t) = \ lim _ {s \ do 0} {\ frac {6s}{s+2}}=0.}$

Oznacza to, że system wraca do zera po zakłóceniu przez krótki impuls. Jednak transformata Laplace'a odpowiedzi na skok jednostkowy jest

${\ Displaystyle G (s) = {\ Frac {1} {s}} {\ Frac {6} {s + 2}}}$

i tak odpowiedź skokowa jest zbieżna do

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} g (t) = \ lim _ {s \ do 0} {\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

a więc system stanu zerowego będzie podążał za wykładniczym wzrostem do końcowej wartości 3.

Przykład, w którym FVT nie obowiązuje

Dla systemu opisanego funkcją przejścia

${\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {9} {s ^ {2} + 9}}}$

wydaje się , że twierdzenie o wartości końcowej przewiduje, że ostateczna wartość odpowiedzi impulsowej wyniesie 0, a ostateczna wartość odpowiedzi skokowej 1. Jednak żadna granica w dziedzinie czasu nie istnieje, więc przewidywania twierdzenia o wartości końcowej są nieważne. W rzeczywistości zarówno odpowiedź impulsowa, jak i odpowiedź skokowa oscylują, a (w tym szczególnym przypadku) twierdzenie o wartości końcowej opisuje średnie wartości, wokół których oscylują odpowiedzi.

teorii sterowania przeprowadza się dwa sprawdzenia , które potwierdzają prawidłowe wyniki twierdzenia o wartości końcowej:

1. Wszystkie niezerowe pierwiastki mianownika $rzeczywiste$ .
2. ${\ Displaystyle H (s)}$ nie może mieć więcej niż jednego bieguna na początku.

Reguła 1 nie została spełniona w tym przykładzie, ponieważ pierwiastki mianownika to ${\ Displaystyle 0 + j3}$ i ${\ displaystyle 0-j3}$ .

Twierdzenia o wartości końcowej dla transformacji Z

Dedukcja lim _{k → ∞} fa [ k ]

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} f [k]}$ istnieje i ${\ Displaystyle \ lim _ {z \, \ do \, 1 {(z-1) F (z)}}$ istnieje wtedy ${\ Displaystyle \ lim _ {k\to \infty}f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$ .

Wartość końcowa układów liniowych

Systemy LTI czasu ciągłego

Wartość końcowa systemu

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t)}$

w odpowiedzi na wejście krokowe z amplitudą $\ Displaystyle$ : $\ mathbf {u} (t)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf { B} R}$

Systemy danych próbkowanych

System danych próbkowanych powyższego systemu LTI czasu ciągłego w aperiodycznych czasach próbkowania ${\ Displaystyle t_ {i}, i = 1,2,...}$ to system czasu dyskretnego

${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} (t_ {i + 1}) = \ mathbf {\Phi} (h_{i})\mathbf {x} (t_{i})+\mathbf {\Gamma} (h_{i})\mathbf {u} (t_{i})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t_ {i}) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t_ {i})}$

gdzie $i} = t_ {i + 1} -t_ {i}}$ {

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (h_ {i}) = e ^ {\ mathbf {A} h_ {i}}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Gamma} (h_ {i}) = \ int _ {0} ^ {h_ {i}} e ^ {\ mathbf {A} s} \, ds}$

Ostateczna wartość tego systemu w odpowiedzi na wejście krokowe $z$ jest $sama$ , jak końcowa wartość jego pierwotnego systemu .

Zobacz też

• Twierdzenie o wartości początkowej
• Transformacja Z
• Transformacja Laplace'a
• Twierdzenia Abela i Taubera

Linki zewnętrzne

• https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Zarchiwizowane 26.12.2017 w Wayback Machine : ostateczna wartość dla Laplace'a
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf : ostateczny dowód wartości dla transformacji Z