Twierdzenie ultrarównoległe

Model dysku Poincarégo: linia różowa jest ultrarównoległa do linii niebieskiej, a linie zielone są równoległe do linii niebieskiej.

W geometrii hiperbolicznej o dwóch liniach mówi się, że są ultrarównoległe , jeśli się nie przecinają i nie ograniczają równoległości .

Twierdzenie o ultrarównoległych stwierdza, że każda para (wyraźnych) ultrarównoległych linii ma unikalną wspólną prostopadłą (linię hiperboliczną, która jest prostopadła do obu prostych).

Konstrukcja Hilberta

Niech r i s będą dwiema ultrarównoległymi liniami.

Z dowolnych dwóch różnych punktów A i C na s narysuj AB i CB' prostopadle do r z B i B' na r.

Jeśli zdarzy się, że AB = CB', to żądana wspólna prostopadła łączy środki odcinków AC i BB' (zgodnie z symetrią czworoboku Saccheriego ACB'B ).

Jeśli nie, możemy założyć, że AB < CB' bez utraty ogólności. Niech E będzie punktem na prostej s po przeciwnej stronie A od C. Weźmy A' na CB' tak, że A'B' = AB. Przez A' poprowadź linię s' (A'E') po stronie bliższej E, tak aby kąt B'A'E' był taki sam jak kąt BAE. Wtedy s' spotyka się z s w zwykłym punkcie D'. Skonstruuj punkt D na promieniu AE tak, aby AD = A'D'.

Wtedy D' ≠ D. Są w tej samej odległości od r i oba leżą na s. Tak więc dwusieczna D'D (odcinek s) jest również prostopadła do r.

(Gdyby r i s były raczej asymptotycznie równoległe niż ultrarównoległe, ta konstrukcja zawiodłaby, ponieważ s 'nie spełniałoby s. Raczej s' byłoby asymptotycznie równoległe do obu s i r.)

Dowód w modelu półpłaszczyzny Poincarégo

Pozwalać

{\ Displaystyle a <b <c <d}

być czterema różnymi punktami na odciętych płaszczyzny kartezjańskiej . Niech $}$ $p$ i będą półkolami powyżej odciętej o średnicach odpowiednio ${\ displaystyle ab}$ i $displaystyle cd}$ . $reprezentują$ w półpłaszczyznowym modelu Poincarégo HP i $linie$ .

Ułóż następujące dwa ruchy hiperboliczne :

{\ displaystyle x \ do xa}

{\ Displaystyle {\ mbox {inwersja w półkolu jednostki.}}}

Wtedy ${\ Displaystyle a \ do \ infty, \ quad b \ do (ba) ^ {- 1}, \ quad c \ do (ca) ^ {- 1}, \ quad d \ do (da) ^ {- 1} .}$

Teraz kontynuuj z tymi dwoma ruchami hiperbolicznymi:

{\ Displaystyle x \ do x - (ba) ^ {- 1}}

{\ Displaystyle x \ do \ lewo [(ca) ^ {-1} - (ba) ^ {-1} \ prawo] ^ {-1} x}

∞ ${\ Displaystyle$ $\ infty}$ , ${\ Displaystyle b \ do 0}$ , $do 1}$ \ , $}$ ${\ Displaystyle d \ do$ (powiedz). Unikalny półokrąg ze środkiem na początku, prostopadły do tego na ${\ displaystyle 1z}$ musi mieć promień styczny do promienia drugiego. Trójkąt prostokątny utworzony przez odciętą i prostopadłe promienie ma przeciwprostokątną długości ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} {\ Frac {1} {2}} \ koniec {macierzy}} (z + 1)}$ . Ponieważ $_$ $_ displaystyle 1z}$ _ , wspólna szukana prostopadła ma promień-kwadrat

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {4}} \ lewo [(z + 1) ^ {2} - (z-1) ^ {2} \ prawej] = z.}

z czterech ruchów hiperbolicznych, które spowodowały $,$ można odwrócić i zastosować w odwrotnej kolejności do półkola wyśrodkowanego w początku i promieniu, aby uzyskać unikalną linię hiperboliczną ${\ displaystyle {\ displaystyle z}}}$ prostopadle do obu ultrarównoległych $}$ q $\ displaystyle q$ .

Dowód w modelu Beltramiego-Kleina

W modelu Beltramiego-Kleina geometrii hiperbolicznej:

dwie ultrarównoległe linie odpowiadają dwóm nieprzecinającym się akordom .
Bieguny tych dwóch linii są odpowiednimi przecięciami linii stycznych do okręgu granicznego w punktach końcowych cięciw.
Linie prostopadłe do prostej l są modelowane przez cięciwy, których przedłużenie przechodzi przez biegun l .
Dlatego rysujemy jednoznaczną linię między biegunami dwóch danych linii i przecinamy ją z okręgiem granicznym; cięciwa przecięcia będzie pożądaną wspólną prostopadłą linii ultrarównoległych.

Jeśli jedna z cięciw jest średnicą, nie mamy bieguna, ale w tym przypadku każda cięciwa prostopadła do średnicy jest również prostopadła w modelu Beltramiego-Kleina, więc rysujemy linię przez biegun inną linię przecinającą średnicę pod kątem prostym, aby uzyskać wspólną prostopadłą.

Dowód kończy się pokazując, że ta konstrukcja jest zawsze możliwa:

Jeśli obie cięciwy są średnicami, przecinają się. (w środku okręgu granicznego)
Jeśli tylko jeden z cięciw jest średnicą, drugi cięciwa wystaje prostopadle w dół do odcinka pierwszego cięciwy zawartego w jego wnętrzu, a linia od bieguna prostopadła do średnicy przecina zarówno średnicę, jak i cięciwę.
Jeśli obie linie nie są średnicami, możemy wydłużyć styczne poprowadzone z każdego bieguna, aby utworzyć czworokąt z wpisanym w niego okręgiem jednostkowym. ^{[ jak? ]} Bieguny są przeciwległymi wierzchołkami tego czworoboku, a cięciwy to linie poprowadzone między sąsiednimi bokami wierzchołka, w poprzek przeciwległych rogów. Ponieważ czworokąt jest wypukły, ^{[ dlaczego? ]} linia między biegunami przecina oba akordy poprowadzone w rogach, a odcinek linii między akordami określa wymagany akord prostopadły do dwóch pozostałych akordów.

Alternatywnie, możemy skonstruować wspólną prostopadłą ultrarównoległych linii w następujący sposób: ultrarównoległe linie w modelu Beltrami-Kleina to dwie nie przecinające się cięciwy. Ale w rzeczywistości przecinają się poza okręgiem. Biegunowa punktu przecięcia jest pożądaną wspólną prostopadłą.

Karol Borsuk i Wanda Szmielew (1960) Podstawy geometrii , strona 291.