Ucieczka ograniczona dyfuzją

Ucieczka ograniczona dyfuzją ma miejsce, gdy szybkość ucieczki z atmosfery do przestrzeni kosmicznej jest ograniczona przez dyfuzję w górę uciekających gazów przez górne warstwy atmosfery, a nie przez mechanizmy ucieczki w górnej części atmosfery (ekzobaza ) . Ucieczka dowolnego gazu atmosferycznego może być ograniczona przez dyfuzję, ale Ziemi , Marsie , Wenus i Tytanie zaobserwowano tylko ograniczoną przez dyfuzję ucieczkę wodoru . Ucieczka wodoru ograniczona przez dyfuzję była prawdopodobnie ważna dla wzrostu zawartości tlenu w ziemskiej atmosferze ( wielkie zjawisko utleniania ) i może być wykorzystana do oszacowania zawartości tlenu i wodoru w prebiotycznej atmosferze Ziemi.

Teoria ucieczki ograniczonej dyfuzją została po raz pierwszy zastosowana przez Donalda Huntena w 1973 roku do opisania ucieczki wodoru na jednym z księżyców Saturna, Tytanie. W następnym roku, w 1974, Hunten odkrył, że teoria ucieczki ograniczonej dyfuzją zgadza się z obserwacjami ucieczki wodoru na Ziemi. Teoria ucieczki ograniczonej dyfuzją jest obecnie szeroko stosowana do modelowania składu atmosfer egzoplanet i starożytnej atmosfery Ziemi.

Ograniczona dyfuzja ucieczka wodoru na Ziemię

Diagram pokazujący, że dyfuzja wodoru w górnych warstwach atmosfery jest wąskim gardłem dla ucieczki wodoru na Ziemi, wynikający z diagramu podanego w Catling i Kasting (2017), s. 147.

Ucieczka wodoru na Ziemi ma miejsce na wysokości około 500 km w egzobazie (dolna granica egzosfery ) , gdzie gazy są bezkolizyjne. Atomy wodoru w egzobazie przekraczające prędkość ucieczki uciekają w przestrzeń bez zderzenia z inną cząsteczką gazu.

Aby atom wodoru mógł uciec z egzobazy, musi najpierw podróżować w górę przez atmosferę z troposfery . W pobliżu poziomu gruntu wodór w postaci H ₂ O, H ₂ i CH ₄ przemieszcza się w górę w homosferze poprzez turbulentne mieszanie, które dominuje aż do homopauzy . Na wysokości około 17 km zimna tropopauza (znana jako „zimna pułapka”) zamraża większość pary H ₂ O, która przez nią przepływa, zapobiegając mieszaniu się części wodoru w górę. W górnej homosferze cząsteczki zawierające wodór są rozszczepiane przez fotony ultrafioletowe , pozostawiając jedynie H i _H2 . H i H ₂ dyfundują w górę przez heterosferę do egzobazy, gdzie uciekają z atmosfery przez ucieczkę termiczną Jeansa i/lub szereg mechanizmów supratermicznych . Na Ziemi etapem ograniczającym szybkość lub „wąskim gardłem” ucieczki wodoru jest dyfuzja przez heterosferę. Dlatego ucieczka wodoru na Ziemi jest ograniczona dyfuzją.

Rozważając jednowymiarową dyfuzję molekularną H2 _przez cięższą atmosferę tła, można wyprowadzić wzór na strumień wodoru o ograniczonej dyfuzji w górę ( ): ${\ displaystyle \ Phi _ {l}}}$ :

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} = Cf_ {T} (H)}$

$jest$ stałą dla określonej atmosfery tła i planety, a $jest$ całkowitym stosunkiem mieszania wodoru we Możesz obliczyć, sumując wszystkie gatunki zawierające wodór, ważone liczbą atomów wodoru, które zawiera każdy gatunek: ${\ Displaystyle f_ {T} (H)}$

${\ Displaystyle f_ {T} (H) = f_ {H} + 2f_ {H_ {2}} + 2f_ {H_ {2} O} + 4f_ {CH_ {4}} + ...}$

Dla atmosfery ziemskiej ${\ Displaystyle C = 2,5 \ razy 10 ^ {13}}$ cm ^-2 s ^-1 , a stężenie gazów zawierających wodór powyżej tropopauzy wynosi 1,8 ppmv ( części na milion przez objętość ) CH4 _, 3 ppm obj. H2O _i 0,55 ppm obj. _H2 . Podstawienie tych liczb do powyższych wzorów daje przewidywaną szybkość ucieczki wodoru ograniczoną dyfuzją wynoszącą Φ $\ Displaystyle \ Phi _ {l} = 4,3 \ razy 10$ ^{^ {8}} } ¹ . Ten obliczony strumień wodoru zgadza się z pomiarami ucieczki wodoru.

Należy zauważyć, że wodór jest jedynym gazem w ziemskiej atmosferze, który ucieka na granicy dyfuzji. Ucieczka helu nie jest ograniczona dyfuzją i zamiast tego ucieka w procesie supratermicznym znanym jako wiatr polarny .

Pochodzenie

Transport cząsteczek gazu w atmosferze odbywa się za pomocą dwóch mechanizmów: dyfuzji molekularnej i dyfuzji wirowej. Dyfuzja molekularna to transport cząsteczek z obszaru o wyższym stężeniu do niższego stężenia w wyniku ruchu termicznego. Dyfuzja wirowa to transport cząsteczek przez turbulentne mieszanie gazu. Suma strumieni dyfuzji molekularnej i wirowej daje całkowity strumień gazu przez atmosferę: ${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {i} = \ Phi _ {i} ^ {mol} + \ Phi _ {i} ^ {eddy}}$

Pionowy strumień dyfuzji wirowej jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ Phi _ {i} ^ {eddy} = - Kn {\ Frac {df_ {i}} {dz}}}$

${\ Displaystyle K}$ to współczynnik dyfuzji wirów, $to$ gęstość atmosfery (cząsteczki cm ^-3 $.$ , a stosunek objętościowego mieszania gazu ${\ displaystyle i}$ . Powyższy wzór na dyfuzję wirową jest uproszczeniem rzeczywistego mieszania się gazów w atmosferze. Współczynnik dyfuzji wirów można wyprowadzić jedynie empirycznie z badań znaczników atmosferycznych.

Z drugiej strony strumień dyfuzji molekularnej można wyprowadzić z teorii. Ogólny wzór na dyfuzję gazu 1 względem gazu 2 podaje wzór

${\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {1} - {\ vec {v}} _ {2} = - D_ {12} \ lewo ({{ \frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {m_{2} -m_{1}}{m}}\nabla (\ln {P})+\alpha _{T}\nabla (\ln {T})-{\frac {m_{1}m_{2}}{ mkT}}({\vec {a}}_{1}-{\vec {a}}_{2})\right)}$

Zmienny	Definicja
${\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {1}}$ , ${\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {2}}$	prędkość gazu 1, 2 (cm s −1 )
${\ Displaystyle w_ {1}}$ , ${\ Displaystyle w_ {2}}$	prędkość pionowa gazu 1, 2 (cm s −1 )
${\ Displaystyle D_ {12}}$	binarny współczynnik dyfuzji (cm 2 s −1 cząsteczki −1 )
${\ displaystyle b_ {12}}$	binarny parametr dyfuzji ( ${\ Displaystyle 2,6 \ razy 10 ^ {19}}$ cm -1 s -1 dla H)
${\ displaystyle n_ {1}}$ i ${\ displaystyle n_ {2}}$	liczbowe gęstości gazu 1 i 2 (cząsteczki cm -3 )
${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle n_ {1} + n_ {2}}$ (cząsteczki cm -3 )
${\ displaystyle f_ {1}}$	stosunek mieszania gazu 1
${\ Displaystyle m_ {1}}$ i ${\ Displaystyle m_ {2}}$	masa cząsteczkowa gazu 1 i 2 (w kg cząsteczki −1 )
${\ displaystyle m}$	${\ Displaystyle (n_ {1} m_ {1} + n_ {1} m_ {2}) / (n_ {1} + n_ { 2})}$
${\ displaystyle k}$	stała Boltzmanna ( ${\ Displaystyle 1,38 \ razy 10 ^ {- 23}}$ JK -1 )
${\ displaystyle T}$	Temperatura (K)
${\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$ i ${\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {2}}$	przyspieszenie gazu 1 i 2 od grawitacji, pól elektrycznych itp. (cm s- 2 )
${\ displaystyle g}$	przyspieszenie grawitacyjne (9,81 ms -2 na Ziemi)
${\ Displaystyle \ alfa _ {T}}$	dyfuzyjność termiczna (~-0,25 dla H lub H2 w powietrzu)
${\ displaystyle P.}$	ciśnienie powietrza (Pa)

Każda zmienna jest zdefiniowana w tabeli po prawej stronie. Terminy po prawej stronie wzoru uwzględniają dyfuzję spowodowaną odpowiednio stężeniem cząsteczek, ciśnieniem, temperaturą i gradientem siły. Powyższe wyrażenie ostatecznie pochodzi z równania transportu Boltzmanna . Możemy znacznie uprościć powyższe równanie, przyjmując kilka założeń. Rozważymy tylko dyfuzję pionową i gaz obojętny, taki, że oba przyspieszenia są równe grawitacji ( ${\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {1} = {\ vec {a }}_{2}=g}$ ), więc ostatni wyraz jest anulowany. zostajemy z

${\ Displaystyle w_ {1} -w_ {2} = - D_ {12} \ lewo ({\ Frac {n ^ {2}} {n_ {1} n_ {2}}} {\ Frac {d} dz}}\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m}}{\frac {d}{dz} }(\ln {P})+\alpha _{T}{\frac {d}{dz}}(\ln {T})\right)}$

Interesuje nas dyfuzja lżejszej cząsteczki (np. wodoru) przez stacjonarny, cięższy gaz tła (powietrze). Dlatego możemy przyjąć, że prędkość ciężkiego gazu tła wynosi zero: ${\ displaystyle w_ {2} = 0}$ . Możemy również użyć reguły łańcuchowej i równania hydrostatycznego , aby przepisać pochodną w drugim wyrazie.

$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ ln {P} = {\ Frac {1} {P}} {\ frac {dP}{dz}}={\frac {-mg}{kT}}}$

Reguła łańcuchowa może być również wykorzystana do uproszczenia pochodnej w trzecim wyrazie.

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ ln {T} = {\ Frac {1} {T}} {\ Frac {dT} {$

Dokonanie tych podstawień daje

${\ Displaystyle w_ {1} = - D_ {12 }\left({\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}{\frac {df_{1}}{dz}}+{\frac {(m_{2}-m_ {1})g}{kT}}+{\frac {\alpha _{T}}{T}}{\frac {dT}{dz}}\right)}$

Zauważ, że dokonaliśmy również podstawienia ${\ Displaystyle n_ {1}/n=f_ {1}}$ . Strumień dyfuzji molekularnej jest określony wzorem

$\ styl wyświetlania \Phi _{1}^{mol}=w_{1}n_{1}=-D_{12}n_{1}\left({\frac {n^{2}}{n_{1}n_{ 2}}}{\frac {df_{1}}{dz}}+{\frac {(m_{2}-m_{1})g}{kT}}+{\frac {\alpha _{T} }{T}}{\frac {dT}{dz}}\right)}$

Dodając strumień dyfuzji molekularnej i strumień dyfuzji wirowej, otrzymujemy całkowity strumień cząsteczki 1 przez gaz tła

${\ Displaystyle \ Phi _ {1} = \ Phi _ {1} ^ {mol} + \ Phi _ {1} ^ {eddy} = - Kn {\ Frac {df_ {1}}{dz}}-D_{12}n_{1}\left({\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}{\frac {df_{1}} {dz}}+{\frac {(m_{2}-m_{1})g}{kT}}+{\frac {\alpha _{T}}{T}}{\frac {dT}{dz }}\Prawidłowy)}$

Gradienty temperatury są dość małe w heterosferze, więc , co pozostawia nam ${\ Displaystyle dT / dz \ około 0}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {1} = -Kn{\frac {df_{1}}{dz}}-D_{12}n_{1}\left({\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}{\ frac {df_{1}}{dz}}+{\frac {(m_{2}-m_{1})g}{kT}}\right)}$

Maksymalny strumień gazu 1 występuje, gdy ${\ Displaystyle df_ {1}/dz = 0}$ . Jakościowo $wraz z wysokością$ się tak, ponieważ musi zmniejszać $się$ aby przyczynić się do przepływu gazu w górę 1. Jeśli wraz z wysokością, to ${ \displaystyle n_ {1}}$ musi gwałtownie spadać wraz z wysokością (przypomnij sobie, że ${\ displaystyle f_ {1} = n_ {1}/n}$ ). Gwałtownie malejący $sobie$ szybkiego wzrostu w celu napędzania stałego strumienia gazu 1 w górę ( $Φ$$\ Fi _{1}=w_{1}n_{1}}$ ). $możliwy$ wzrost nie jest fizycznie Aby zapoznać się z matematycznym wyjaśnieniem, dlaczego ${\ displaystyle df_ {1}/dz = 0}$ , zobacz Walker 1977, s. 160. Maksymalny strumień gazu 1 względem gazu 2 ( , który występuje, gdy $) wynosi$${\ Displaystyle df_ {1}/dz$) is therefore

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} = D_ {12} n_ {1} \ lewo ({\ Frac {(m_ {2} - m_{1})g}{kT}}\prawo)}$

Ponieważ ${\ Displaystyle D_ {12} = b_ {12}/n}$ ,

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} = {\ Frac {b_ {12 }g(m_{2}-m_{1})}{kT}}{\frac {n_{1}}{n}}={\frac {b_{12}g(m_{2}-m_{1 })}{kT}}f_{1}}$

Lub

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} = Cf_ {1}}$

Jest to ograniczony przez dyfuzję strumień cząsteczki. Dla każdej konkretnej atmosfery $stałą$ . Dla dyfuzji wodoru (gaz 1) przez powietrze (gaz 2) w heterosferze na Ziemi $powietrze} -m_ {wodór} \ około 4,8 \ razy 10 ^ {-26}}$ sol $\ Displaystyle g = 9,81}$ ms ^-2 i ${\ Displaystyle T \ około 208}$ K. Zarówno H, jak i H ₂ dyfundują przez heterosferę , więc użyjemy parametru dyfuzji, który jest ważoną sumą gęstości liczbowych H i H ₂ w tropopauzie.

${\ Displaystyle b_ {12} = b_ {H} {\ Frac {n_ {H}}} {n_ {n_ { H}+n_{H2}}}+b_{H2}{\frac {n_{H2}}{n_{H}+n_{H2}}}}$

n ${\ Displaystyle n_ {H} \ około 1,8 \ razy 10 ^ {7}}$ cząsteczek cm ^-3 , $\ Displaystyle n_ {H2} \ około 5,2 \ razy 10 ^ {7}}$ cząsteczki cm ^-3 , ${\ Displaystyle b_ {H} \ około 2,73 \ razy 10 ^ {19}}$ cm ^-1 s ^-1 i ${\ Displaystyle b_ {H2} \ około 1,46 \ razy 10 ^ {19}}$ cm ^-1 s ^-1 , binarny parametr dyfuzji to ${\ Displaystyle b_ {12} = 1,8 \ razy 10^{19}}$ . Liczby te dają cząsteczki cm ^-2 s ${\ Displaystyle C = 2,9 \ razy 10 ^$ ^{13} } $_$ obliczeniach to cm ⁻² s ⁻¹ Powyższy wzór można wykorzystać do obliczenia strumienia ograniczonego dyfuzją gazów innych niż wodór.

Ucieczka ograniczona dyfuzją w Układzie Słonecznym

Każde ciało skaliste w Układzie Słonecznym ze znaczną atmosferą, w tym Ziemia, Mars, Wenus i Tytan, traci wodór w tempie ograniczonym przez dyfuzję.

$-1$ przypadku Marsa stałą rządzącą dyfuzją cm ^{-2 -1} . Pomiary spektroskopowe atmosfery Marsa sugerują, że ${\ Displaystyle f_ {T} (H) = (30 \ pm 10) \ razy 10 ^ {-6}}$ . Pomnożenie tych liczb razem daje ograniczoną dyfuzję szybkość ucieczki wodoru:

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} ^ {mars} = C_ {mars} f_ {T} (H. )=(3,3\pm 1,1)\times 10^{8}}$ H atomy cm ⁻² s ⁻¹

Mariner i 7 $^ {8}$ pośrednio obserwował strumień ucieczki wodoru na Marsie między atomami ^H cm ${\ Displaystyle 1 \$ razy ² s ⁻¹ . Obserwacje te sugerują, że atmosfera Marsa traci wodór przy mniej więcej wartości ograniczonej dyfuzji.

Obserwacje ucieczki wodoru na Wenus i Tytanie również znajdują się na granicy dyfuzji. Na Wenus zmierzono ucieczkę wodoru na około ${\ displaystyle 1,7 \ razy 10 ^ {7}}$ H atomów cm ^-2 s ^-1 , podczas gdy obliczona ograniczona szybkość dyfuzji wynosi około ${\ displaystyle 3\times 10^{7}}$ H atomy cm ⁻² s ⁻¹ , które są w rozsądnej zgodności. Na Tytanie ucieczka wodoru została zmierzona przez sondę Cassini jako ${\ Displaystyle (2,0 \ pm 2,1) \ razy 10 ^ {10}}$ H atomy cm ^-2 s ^-1 , a obliczone szybkość ograniczona dyfuzją wynosi ${\ Displaystyle 3 \ razy 10 ^ {10}}$ H atomy cm ^-2 s ^-1 .

Zastosowania do starożytnej atmosfery Ziemi

Zawartość tlenu w atmosferze prebiotycznej

Możemy wykorzystać ucieczkę wodoru ograniczoną dyfuzją do oszacowania ilości O ₂ w atmosferze Ziemi przed powstaniem życia (atmosfera prebiotyczna). Zawartość O ₂ w atmosferze prebiotycznej była kontrolowana przez jej źródła i pochłaniacze. Gdyby potencjalne pochłaniacze O ₂ znacznie przewyższały źródła, atmosfera byłaby prawie pozbawiona O ₂ .

W atmosferze prebiotycznej O ₂ powstawał w wyniku fotolizy CO ₂ i H ₂ O w atmosferze:

${\ Displaystyle {\ ce {CO_2 + h \ nu -> WSP + O}}}$

${\ Displaystyle {\ ce {H_2O + h \ nu -> 1/2O_2 + 2H}}}$

Reakcje te niekoniecznie są źródłem netto O ₂ . Jeśli CO i O powstałe w wyniku fotolizy CO ₂ pozostaną w atmosferze, ostatecznie połączą się ponownie, tworząc CO ₂ . Podobnie, jeśli H i O ₂ z fotolizy H ₂ O pozostaną w atmosferze, to ostatecznie zareagują, tworząc H ₂ O. Fotoliza H ₂ O jest źródłem netto O ₂ tylko wtedy, gdy wodór ucieka w przestrzeń kosmiczną.

Jeśli założymy, że ucieczka wodoru nastąpiła na granicy dyfuzji w atmosferze prebiotycznej, możemy oszacować ilość H ₂ , która uciekła w wyniku fotolizy wody. Gdyby prebiotyczna atmosfera miała współczesny stratosferyczny stosunek mieszania H2O _wynoszący 3 ppmv, co odpowiada 6 ppmv H2 po fotolizie, to

${\ Displaystyle \ Phi _ {l} (H) = (2,5 \ razy 10 ^ {13}) \ cdot (6\times 10^{-6})=1,5\times 10^{8}}$ H atomy cm ⁻² s ⁻¹

Stechiometria $)$ mola O ₂ ( , więc abiotyczna O ₂ z fotolizy H ₂ O wynosiło ${\ Displaystyle 3,75 \ razy 10 ^ {7}}$ cząsteczek O _{2 cm} ⁻² s ⁻¹ . Głównym pochłaniaczem O ₂ byłyby reakcje z wulkanicznym wodorem. Współczesny wulkaniczny strumień H wynosi około ${\ Displaystyle 7,5 \ razy 10 ^ {9}}$ atomów H cm ^-2 s ^-1 . Gdyby atmosfera prebiotyczna $cząsteczek$ podobny przepływ wulkanicznego wodoru, wówczas potencjalny pochłaniacz O ₂ byłby równy jednej czwartej wulkanizmu wodorowego 2 _cm -2 ^. s ^-1 . Te obliczone wartości przewidują, że potencjalne pochłaniacze O2 _były ~50 razy większe niż źródło abiotyczne. Dlatego O ₂ musiało być prawie nieobecne w atmosferze prebiotycznej. Modele fotochemiczne, które wykonują bardziej skomplikowane wersje powyższych obliczeń, przewidują proporcje zmieszania prebiotycznego O ₂ poniżej 10-11 ^, co jest niezwykle niskie w porównaniu do współczesnego stosunku zmieszania O _{2 wynoszącego 0,21.}

Zawartość wodoru w atmosferze prebiotycznej

H ₂ w atmosferze prebiotycznej były również kontrolowane przez jego źródła i pochłaniacze. W atmosferze prebiotycznej głównym źródłem H ₂ było odgazowanie wulkaniczne, a głównym pochłaniaczem odgazowującego H ₂ byłaby ucieczka w kosmos. Część odgazowanego H ₂ przereagowałaby z atmosferycznym O ₂ tworząc wodę, ale było to bardzo prawdopodobne, że z powodu małej ilości O _{2 pochłanianie H 2 było pomijalne} (patrz poprzednia sekcja). Inaczej jest w przypadku współczesnej atmosfery, w której głównym pochłaniaczem wulkanicznego H ₂ jest jego reakcja z dużą ilością atmosferycznego O ₂ w celu wytworzenia H ₂ O.

Jeśli założymy, że prebiotyczne stężenie H ₂ było w stanie ustalonym, to strumień wulkanicznego H ₂ był w przybliżeniu równy strumieniowi ucieczki H ₂ .

${\ Displaystyle \ Phi _ {volc} (H_ {2}) \ około \ Phi _ {esc} (H_ {2})}$

Dodatkowo, jeśli założymy, że H ₂ uciekał z szybkością ograniczoną dyfuzją, tak jak na współczesnej Ziemi, to

${\ Displaystyle \ Phi _ {volc} (H_ {2}) \ około \ Phi _ { esc}(H_{2})=2,5\razy 10^{13}f_{T}(H_{2})}$

Jeśli strumień wulkanicznego H ^{2 był współczesną wartością atomów H cm −2} _s −1 , to $możemy$ wodoru w prebiotycznej atmosferze

${\ Displaystyle f_ {T} (H_ {2}) \około {\frac {\Phi _{volc}(H_{2})}{2,5\razy 10^{13}}}={\frac {3,75\razy 10^{9}}{2,5\razy 10^ {13}}}=1,5\razy 10^{-4}=150}$ ppmv

Dla porównania, stężenie H ₂ we współczesnej atmosferze wynosi 0,55 ppmv, więc prebiotyczny H ₂ był prawdopodobnie kilkaset razy wyższy niż dzisiejsza wartość.

Oszacowanie to powinno być traktowane jako dolna granica rzeczywistego stężenia H2 _prebiotyku . Istnieje kilka ważnych czynników, które zaniedbaliśmy w tych obliczeniach. Ziemia prawdopodobnie miała wyższe tempo odgazowywania wodoru, ponieważ wnętrze Ziemi było znacznie cieplejsze ~ 4 miliardy lat temu. Ponadto, istnieją dowody geologiczne, że płaszcz był bardziej redukujący w odległej przeszłości, co oznacza, że ​​nawet więcej zredukowanych gazów (np. H ₂ ) mogło zostać odgazowanych przez wulkany w stosunku do utlenionych gazów wulkanicznych. Inne zredukowane gazy wulkaniczne, takie jak CH ₄ i H ₂ S, również powinny brać udział w tych obliczeniach.