Uogólniony tensor struktury

W analizie obrazu uogólniony tensor struktury (GST) jest rozszerzeniem tensora struktury kartezjańskiej na współrzędne krzywoliniowe . Jest używany głównie do wykrywania i przedstawiania parametrów „kierunku” krzywych, tak jak tensor struktury kartezjańskiej wykrywa i reprezentuje kierunek we współrzędnych kartezjańskich. Najlepiej zbadano rodziny krzywych generowane przez pary funkcji lokalnie ortogonalnych.

Jest to powszechnie znana metoda w zastosowaniach przetwarzania obrazu i wideo, w tym widzenia komputerowego, takich jak identyfikacja biometryczna za pomocą odcisków palców oraz badania skrawków tkanek ludzkich.

GST w bazach 2D i lokalnie ortogonalnych

Niech termin obraz reprezentuje funkcję gdzie $)}$ , y), \ eta ( $}$ $} \ displaystyle x,$ $.$ $są$ zmiennymi rzeczywistymi a i wartościach rzeczywistych GST reprezentuje kierunek, w którym obraz ${\ displaystyle f}$ może podlegać nieskończenie małemu tłumaczeniu z minimalnym ( całkowitym błędem najmniejszych kwadratów), wzdłuż „linii” spełniających następujące warunki:

1. „Linie” to zwykłe linie w podstawie współrzędnych krzywoliniowych ${\ Displaystyle \ xi, \ eta}$

{\ Displaystyle \ cos (\ teta) \ xi (x, y) + \ sin (\ teta) \ eta (x,y)={\text{stała}}}

które są krzywymi we współrzędnych kartezjańskich, jak przedstawiono w powyższym równaniu. Błąd jest mierzony w $,$ a minimalność błędu odnosi się tym samym do L2 .

ξ $(x, y), \ eta (x, y)}$ tworzą parę harmoniczną , tj .

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\ częściowe \ xi} {\ częściowe x}} = - {\ Frac {\ częściowe \ eta} {\ częściowe y}}, \\ [4pt] i { \frac {\częściowy \xi }{\częściowy y}}={\frac {\częściowy \eta }{\częściowy x}}.\end{wyrównany}}}

$W związku$ tym takie współrzędne krzywoliniowe lokalnie ortogonalne

Następnie GST składa się z

{\ Displaystyle GST = (\ lambda _ {max} - \ lambda _ {min}) \ int w (\ xi, \ eta) \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {c} {\ Frac {\ częściowe f} {\częściowe \xi}}\\{\frac {\częściowe f}{\częściowe \eta}}\\\end{tablica}}\right][{\frac {\częściowe f}{\częściowe \xi} }, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe \ eta }}] d \ xi d \ eta + \ lambda _ {min} I}

gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ lambda _ {min} \ równoważnik \ lambda _ {max}}$ są błędami (nieskończenie małej) translacji w najlepszym kierunku (oznaczonym kątem ${ \ displaystyle \ theta}$ ) i najgorszy kierunek (oznaczony przez ${\ displaystyle \ theta + \ pi / 2}$ ). funkcja ${\ Displaystyle w (\ xi, \ eta)}$ $skalę ”,$ ${\ displaystyle f$ zostanie przeprowadzone wykrywanie, którą można pominąć lub jeśli $}$ to pełny obraz (a nie lokalny). Macierz jest macierzą $tożsamości$ . Korzystając z reguły łańcucha , można wykazać, że powyższa integracja może być zaimplementowana jako sploty $}$ do tensora struktury zwykłej, gdy rzeczywiste i urojone części analitycznej , $, \ eta$ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c} \ xi (x, y) = \ Re g (z) \\\eta (x,y)=\Im g(z)\\\end{array}}}

gdzie ${\ displaystyle z = x + iy}$ . Przykłady funkcji analitycznych obejmują ${\ Displaystyle g (z) = \ log z = \ log (x + iy)}$ , a także jednomiany ${\ Displaystyle g (z) = z ^ {n} = (x + iy) ^ {n}}$ sol $/2}}$ $\ Displaystyle g (z ) = z ^ {n/2} = (x + iy)$ $n$ , gdzie jest dowolną dodatnią lub ujemną liczbą całkowitą. Jednomiany są również określane jako funkcje harmoniczne ${\ Displaystyle g (z) = z ^ {n}}$ w wizji komputerowej i przetwarzaniu obrazu.

tensor struktury kartezjańskiej jest szczególnym przypadkiem GST, gdzie ${\ Displaystyle \ xi = x}$ i ${\ Displaystyle \ eta = y}$ , tj. Funkcja harmoniczna to po prostu ${\ Displaystyle g (z) = z = (x + iy)}$ . Tak więc, wybierając funkcję harmoniczną $}$ można wykryć wszystkie krzywe, które są liniowymi kombinacjami jej części rzeczywistych i urojonych, za pomocą zwojów tylko na (prostokątnych) siatkach obrazu, nawet jeśli sol {\ displaystyle g ${\ Displaystyle \ xi, \ eta}$ są niekartezjańskie. Ponadto obliczenia splotu można wykonać za pomocą złożonych filtrów zastosowanych do złożonej wersji tensora struktury. W związku z tym implementacje GST były często wykonywane przy użyciu złożonej wersji tensora struktury, zamiast przy użyciu tensora (1,1).

Złożona wersja GST

Ponieważ istnieje złożona wersja zwykłego tensora struktury , istnieje również złożona wersja GST

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c} \ kappa _ {20} = (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) \ exp (i2 \ theta) & = & w * (h * f) ^{2}\\\kappa _{11}=\lambda _{1}+\lambda _{2}&=&|w|*|h*f|^{2}\\\end{tablica}} }

który jest identyczny ze swoim kuzynem, z tą różnicą, że $.$ filtrem złożonym Należy przypomnieć, że zwykły tensor struktury $.$ prawdziwym filtrem, zwykle definiowanym przez próbkowany i przeskalowany Gaussa w celu wyznaczenia sąsiedztwa, znanego również jako skala zewnętrzna Ta prostota jest powodem, dla którego implementacje GST wykorzystywały głównie powyższą złożoną wersję. Dla rodzin krzywych zdefiniowanych przez funkcje analityczne $\ displaystyle g}$ $\ Displaystyle \ xi, \ eta} sol {$ , można pokazać, że funkcja określająca sąsiedztwo ma wartości zespolone,

{\ Displaystyle w = (x \ pm iy) ^ {n} \ exp (- (x ^ {2} + y ^ {2}) / (2 \ sigma ^ {2}}) \ propto (D_ { x}\pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))}

,

tak zwana pochodna symetrii Gaussa. W ten sposób orientacyjna zmiana poszukiwanego wzorca jest bezpośrednio włączona do funkcji definiującej sąsiedztwo, a wykrywanie następuje w przestrzeni (zwykłego) tensora struktury.

Podstawowa koncepcja jej wykorzystania w przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej

$obrazach$ wykrywanie na jest możliwe dzięki przetwarzaniu obrazu dla pary ${\ displaystyle \ xi}$ , ${\ displaystyle \ eta}$ . Złożone sploty (lub odpowiadające im operacje macierzowe) i punktowe odwzorowania nieliniowe są podstawowymi elementami obliczeniowymi implementacji GST. Następnie uzyskuje się całkowite oszacowanie błędu najmniejszych kwadratów na poziomie ${\ Displaystyle 2 \ theta}$ wraz z dwoma błędami i ${\ Displaystyle \ lambda _ {max}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {min}}$ . Analogicznie do tensora struktury kartezjańskiej $obliczenia$ oszacowany kąt jest reprezentowany w postaci podwójnego kąta, tj. i może być użyty jako cecha kształtu, podczas gdy ${\ Displaystyle \ lambda _ {max} - \ lambda _ {min}}$ samodzielnie lub w połączeniu z ${\ Displaystyle \ lambda _ {max} + \ lambda _ {min}}$ może być używany jako miara jakości (pewność, pewność) do oszacowania kąta.

Spirale logarytmiczne, w tym okręgi, można na przykład wykryć za pomocą (złożonych) splotów i odwzorowań nieliniowych. Spirale mogą być w obrazach szarych (wycenionych) lub w obrazie binarnym , tzn. położenie elementów brzegowych danych wzorów, takich jak kontury okręgów lub spirali, nie może być znane ani inaczej oznaczone.

Uogólniony tensor struktury może być używany jako alternatywa dla transformacji Hougha w przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej do wykrywania wzorców, których lokalne orientacje można modelować, na przykład punkty połączeń. Główne różnice obejmują:

Dozwolone jest głosowanie negatywne i złożone;
Za pomocą jednego szablonu można wykryć wiele wzorów należących do tej samej rodziny;
Binaryzacja obrazu nie jest wymagana.

Interpretacja fizyczna i matematyczna

Współrzędne krzywoliniowe GST mogą wyjaśnić procesy fizyczne zastosowane do obrazów. Dobrze znana para procesów polega na obracaniu i powiększaniu. Są one związane z transformacją współrzędnych ${\ Displaystyle \ xi = \ log ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}})}$ i ${\ Displaystyle \ eta = \ tan ^ {- 1} (x, y)}$ .

Jeśli obraz $izokrzywych$ , które można wytłumaczyć tylko za pomocą $izokrzywych,$ . jego izokrzywe składają się z okręgów $xi)}$ ${\ displaystyle f (\ xi, \ eta) =$ $\$ , gdzie jest dowolną różniczkowalną funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na 1D, obraz jest niezmienny względem obrotów (wokół początku).

Operacja powiększania (obejmująca oddalanie) jest modelowana w podobny sposób. Jeśli obraz ma izokrzywe, które wyglądają jak „gwiazda” lub szprychy rowerowe, tj. ${\ Displaystyle f (\ xi, \ eta) = g (\ eta)}$ $różniczkowalna$ funkcja 1D $jest$ następnie obraz niezmienny względem skalowania (w pochodzeniu).

W połączeniu,

{\ Displaystyle f (\ xi, \ eta) =g(\cos(\theta)\log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\sin(\theta)\tan ^{-1}(x,y)) }

jest niezmienne dla określonej wielkości obrotu połączonej ze skalowaniem, gdzie wielkość jest precyzyjna przez parametr ${\ displaystyle \ theta}$ .

tensor struktury kartezjańskiej jest również reprezentacją translacji . Tutaj proces fizyczny polega na zwykłym przesunięciu określonej ilości wzdłuż w połączeniu z przesunięciem wzdłuż , $y}$ { $displaystyle$

{\ Displaystyle \ cos (\ teta) x + \ sin (\ teta) y = {\ tekst {stała}}}

gdzie kwota jest określona przez parametr ${\ displaystyle \ theta}$ . Najwyraźniej tutaj reprezentuje kierunek $linii$

Ogólnie rzecz biorąc, oszacowany reprezentuje kierunek (we $.$ $,$ wzdłuż którego nieskończenie małe tłumaczenia pozostawiają obraz niezmienny, w praktyce Z każdą parą bazową współrzędnych krzywoliniowych istnieje zatem para nieskończenie małych translatorów, których liniowa kombinacja jest operatorem różniczkowym . Te ostatnie są związane z algebrą Liego .

Różnorodny

„Obraz” w kontekście GST może oznaczać zarówno zwykły obraz, jak i jego sąsiedztwo (obraz lokalny), w zależności od kontekstu. Na przykład zdjęcie jest obrazem, podobnie jak każde jego otoczenie.

Zobacz też