Uproszczona mapa

Odwzorowanie uproszczone (zwane także odwzorowaniem uproszczonym ) jest funkcją między dwoma zespołami uproszczonymi , z tą właściwością, że obrazy wierzchołków simpleksu zawsze obejmują simpleks. Mapy uproszczone mogą służyć do aproksymacji funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi , które można triangulować ; jest to sformalizowane przez twierdzenie o uproszczonym przybliżeniu .

Izomorfizm uproszczony to bijektywna mapa uproszczona, taka, że ​​zarówno ona, jak i jej odwrotność są uproszczone.

Definicje

Uproszczona mapa jest definiowana w nieco inny sposób w różnych kontekstach.

Abstrakcyjne uproszczone kompleksy

Niech K i L będą dwoma abstrakcyjnymi zespołami uproszczonymi (ASC). Uproszczona mapa K na L jest funkcją od wierzchołków K do wierzchołków L , że ${\ Displaystyle f: V (K) \ do V (L)}$ odwzorowuje każdy simpleks w K na simpleks w L . To znaczy dla dowolnego , fa $\ Displaystyle \ sigma \ in K}$${\ Displaystyle f (\ sigma) \ w L}$ . Jako przykład niech K będzie ASC zawierającą zbiory {1,2},{2,3},{3,1} i ich podzbiory, a L niech będzie ASC zawierającą zbiór {4,5,6} i jego podzbiory. Zdefiniuj odwzorowanie f przez: f (1)= f (2)=4, f (3)=5. Wtedy f jest odwzorowaniem uproszczonym, ponieważ f ({1,2})={4}, które jest simpleksem w L, f ({2,3})=f({3,1})={4,5} który jest również simpleksem w L itd.

Jeśli $bijektywna$ , może odwzorowywać k -wymiarowe uproszczenia w K na l -wymiarowe uproszczenia w L , dla dowolnego l ≤ k . W powyższym przykładzie f odwzorowuje jednowymiarowy simpleks {1,2} na zerowymiarowy simpleks {4}.

Jeśli $,$$bijektywna$ , a jej odwrotność $jest$ uproszczoną mapą L na K nazywa . Izomorficzne uproszczone kompleksy są zasadniczo „takie same”, aż do zmiany nazwy wierzchołków. Istnienie izomorfizmu między L i K jest zwykle oznaczane przez ${\ Displaystyle K \ cong L}$ . Zdefiniowana powyżej funkcja f nie jest izomorfizmem, ponieważ nie jest bijekcją. Jeśli zmodyfikujemy definicję do f (1) = 4, fa (2) = 5, f (3) = 6, to f jest bijekcją, ale nadal nie jest izomorfizmem, ponieważ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ nie jest proste: ${\ Displaystyle f ^ {-1} (\ {4,5,6 \}) = \ {1,2,3 \}}$ , co nie jest simpleksem w K. Jeśli zmodyfikujemy L, usuwając {4,5 ,6}, czyli L jest ASC zawierającym tylko zbiory {4,5},{5,6},{6,4} i ich podzbiory, wtedy f jest izomorfizmem.

Geometryczne kompleksy symplicalne

Niech K i L będą dwoma geometrycznymi zespołami uproszczonymi es (GSC). Uproszczona mapa K na L $simpleksu$ taką że obrazy wierzchołków simpleksu w K obejmują simpleks w L . Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ sigma \ w K.}$ , ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {conv} (f (V (\ sigma)}) \ w L}$ . Zauważ, że implikuje to, że wierzchołki K są odwzorowywane na wierzchołki L.

Równoważnie można zdefiniować mapę uproszczoną jako funkcję od podstawowej przestrzeni K (suma uproszczeń w K) do podstawowej przestrzeni L , ${\ Displaystyle f: | K | \ do | L |}$ , który odwzorowuje każdy simpleks w K liniowo na simpleks w L. To znaczy dla dowolnego simpleksu ${\ Displaystyle \ sigma \ w K}$ , ${\ Displaystyle f (\ sigma) \ w L}$ , a ponadto $\ vert _ {\ sigma}}$ \ $Displaystyle$$($ do ) jest funkcją liniową . Każda mapa uproszczona jest ciągła.

Mapy uproszczone są określane na podstawie ich wpływu na wierzchołki. W szczególności istnieje skończona liczba map uproszczonych między dwoma danymi skończonymi kompleksami uproszczonymi.

Uproszczona mapa między dwoma ASC indukuje uproszczoną mapę między ich realizacjami geometrycznymi (ich podstawowymi wielościanami) przy użyciu współrzędnych barycentrycznych . To można precyzyjnie określić. $_$ będzie _ Rozszerzeniem afinicznym jest $mapowanie$ _ ${\ Displaystyle | f |:| K | \ do | L |}$ zdefiniowane w następujący sposób. Dla dowolnego punktu ${\ Displaystyle x \ in | K|}$ , niech $będzie$ wsparciem (unikatowy simpleks zawierający x we ​​wnętrzu) ​​i oznaczmy wierzchołki przez ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {k}}$${\ displaystyle \ sigma}$ . Punkt ${\ displaystyle x}$ ma unikalną reprezentację jako wypukłą kombinację wierzchołków, $x = \ suma _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} v_ {i}$${\ Displaystyle a_ {i} \ geq 0}$ z i ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} = 1}$ (za $\ displaystyle a_{i}}$ to barycentryczne współrzędne ${\ displaystyle x}$ ). definiujemy $\ Displaystyle | f | (x): = \ suma _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} f (v_ {i}) }$ . to | fa | jest uproszczoną mapą |K| w |L|; jest to funkcja ciągła . Jeśli f jest iniekcyjne , to | fa | jest iniekcyjny; jeśli f jest izomorfizmem między K i L , następnie | fa | jest homeomorfizmem między | K. | i | L |.

Przybliżenie uproszczone

Niech ${\ Displaystyle f \ dwukropek | K|\ do | L|}$ być ciągłą mapą między podstawowymi wielościanami uproszczonych kompleksów i napiszmy $}} (v)}$ st gwiazda wierzchołka. Uproszczona $_$ że ${\ Displaystyle f ({\ tekst {st}} (v)} \ subseteq {\ tekst {st}} (f _ {\ trójkąt} (v))} nazywa$ się uproszczone przybliżenie do ${\ displaystyle f}$ .

Uproszczone przybliżenie jest homotopijne w stosunku do mapy, którą przybliża. Więcej szczegółów można znaleźć w twierdzeniu o uproszczonym przybliżeniu .

Odcinkowo-liniowe mapy

Niech K i L będą dwoma GSC. Funkcja ${\ Displaystyle f: | K | \ do | L |}$ nazywa się odcinkowo-liniowym (PL) , jeśli istnieje podpodział K ' z K i podpodział L ' od L , taki, że ${\ displaystyle f:| K'|\ do | L'|}$ jest uproszczoną mapą K' na L'. Każda uproszczona mapa to PL, ale nie jest odwrotnie. Załóżmy na przykład |K| i |L| to dwa trójkąty i niech ${\ Displaystyle f: | K | \ do | L |}$ być funkcją nieliniową, która odwzorowuje skrajną lewą połowę | K. | liniowo do skrajnej lewej połowy | L | i odwzorowuje skrajną prawą połowę | K. | liniowo do prawej połowy | L |. wtedy f to PL, ponieważ jest to uproszczona mapa między podpodziałem |K| na dwa trójkąty i podpodział |L| na dwa trójkąty. Pojęcie to jest adaptacją ogólnego pojęcia funkcji odcinkowo-liniowej do kompleksów uproszczonych.

Homeomorfizm PL między dwoma wielościanami | K. | i | L | jest odwzorowaniem PL takim, że uproszczone odwzorowanie między podpodziałami, ${\ Displaystyle f:| K'|\ do | L'|}$ jest homeomorfizmem.