Twierdzenie o uproszczonym przybliżeniu

W matematyce twierdzenie o uproszczonej aproksymacji jest fundamentalnym wynikiem topologii algebraicznej , gwarantującym, że odwzorowania ciągłe mogą być (poprzez niewielkie odkształcenie) przybliżane przez te, które są fragmentami najprostszego rodzaju. Dotyczy to odwzorowań między przestrzeniami, które są zbudowane z uproszczeń — czyli skończonych uproszczonych kompleksów . Ogólne odwzorowanie ciągłe między takimi przestrzeniami może być w przybliżeniu reprezentowane przez rodzaj odwzorowania, czyli ( afiniczne -) liniowy na każdym simpleksie na inny, kosztem (i) wystarczającego barycentrycznego podziału uproszczeń dziedziny oraz (ii) zastąpienia rzeczywistego odwzorowania odwzorowaniem homotopowym .

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez LEJ Brouwera przy użyciu twierdzenia Lebesgue'a o pokryciu (wynik oparty na zwartości ). Posłużyło to do ugruntowania ówczesnej teorii homologii — pierwszej dekady XX wieku — ponieważ wykazało, że efekt topologiczny (na grupy homologii ) odwzorowań ciągłych można w danym przypadku wyrazić w sposób finitarny . Należy to rozpatrywać na tle ówczesnej świadomości, że ciągłość była ogólnie zgodna z patologią , w niektórych innych obszarach. Zapoczątkowało to, można powiedzieć, erę topologii kombinatorycznej .

Istnieje dalsze twierdzenie o uproszczonym przybliżeniu dla homotopii , stwierdzające, że homotopia między ciągłymi odwzorowaniami może być podobnie aproksymowana za pomocą wersji kombinatorycznej.

Formalne stwierdzenie twierdzenia

Niech i będą dwoma $kompleksami$ . $_$ Uproszczone odwzorowanie nazywa się uproszczonym przybliżeniem funkcji ciągłej ${\ Displaystyle F:|K|\ do |L|}$ ${\ Displaystyle f: K \$ jeśli dla każdego punktu ${\ displaystyle x \ w | K|}$ , $x)}$ $displaystyle$ należy do minimalnego zamkniętego simpleksu zawierającego punkt $F (x)}$ . Jeśli $f$ uproszczonym przybliżeniem ciągłej mapy $,$ to geometryczna realizacja $\ displaystyle$ } ${\ styl wyświetlania | f |}$ jest z konieczności homotopijny z ${\ displaystyle F}$ . ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

Twierdzenie o uproszczonej aproksymacji stwierdza, że przy dowolnej ciągłej mapie ${\ Displaystyle F: | K|\ do | L|}$ istnieje taka liczba naturalna ${\ displaystyle n_ {0}} , że dla wszystkich$ ${\ Displaystyle n \ geq n_ {0}}$ istnieje uproszczenie przybliżenie ${\ Displaystyle f: \ operatorname {Bd} ^ {n} K \ do L}$ do ${\ Displaystyle F}$ (gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Bd} \; K}$ $} K}$ barycentryczny podział K ${\ Displaystyle K}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {Bd} ^ {$ oznacza wynik zastosowania podziału barycentrycznego ${\ displaystyle n}$ razy.)

„Simplicial Complex” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]