Ustaw oszacowanie

W statystyce losowy wektor x jest klasycznie reprezentowany przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa . W podejściu opartym na członkostwie w zbiorze lub estymacji zbioru x jest reprezentowane przez zbiór X , do którego zakłada się , że x należy. Oznacza to, że wsparcie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa x jest zawarte wewnątrz X . Z jednej strony reprezentowanie wektorów losowych za pomocą zbiorów umożliwia mniej założeń dotyczących zmiennych losowych (takich jak niezależność), a radzenie sobie z nieliniowościami jest łatwiejsze. Z drugiej strony funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza dokładniejszej informacji niż zbiór obejmujący swoje wsparcie.

Szacowanie członkostwa w zbiorze

Estymacja członkostwa w zestawie (lub w skrócie estymacja zestawu ) jest podejściem estymacyjnym , które zakłada, że ​​pomiary ^są reprezentowane przez zbiór Y (przeważnie pudełko Rm , gdzie m jest liczbą pomiarów) przestrzeni pomiarowej. Jeśli p jest wektorem parametrów, a f jest funkcją modelu, to zbiór wszystkich możliwych wektorów parametrów jest

${\ Displaystyle P = P_ {0} \ czapka f ^ {- 1} (Y)}$ ,

₀ gdzie P jest wcześniejszym zestawem parametrów. Charakterystyka P odpowiada problemowi odwrócenia zestawu .

Rezolucja

Gdy f jest liniowy, możliwy zbiór P można opisać za pomocą nierówności liniowych i można go aproksymować za pomocą technik programowania liniowego .

Gdy f jest nieliniowe, rozdzielczość można przeprowadzić za pomocą analizy przedziałowej . Możliwy zestaw P jest następnie aproksymowany przez wewnętrzną i zewnętrzną podnawierzchnię . Głównym ograniczeniem metody jest jej wykładnicza złożoność w stosunku do liczby parametrów.

Przykład

Rozważ następujący model

${\ Displaystyle \ phi (p_ {1}, p_ {2}, t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),}$

gdzie p ₁ i p ₂ to dwa parametry do oszacowania.

Rysunek 1. Dane ograniczonego błędu

Załóżmy, że w chwilach t ₁ =−1, t ₂ = 1, t ₃ = 2 zebrano następujące pomiary interwałowe:

[ y ₁ ]=[−4,−2],

[ y ₂ ]=[4,9],

[ y ₃ ]=[7,11],

jak pokazano na rysunku 1. Odpowiedni zestaw pomiarowy (tutaj ramka) to

${\ Displaystyle Y = [y_ {1}] \ razy [y_ {2}] \ razy [y_ {3}]}$ .

Funkcja modelu jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle f (p_ {1}, p_ {2}) = {\ rozpocząć {bmatrix} p_ {1} ^ {2} - p_ {2} ^ {2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2}) \\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmacierz}}}$

Składowe f uzyskuje się za pomocą modelu dla każdego pomiaru czasu. Po rozwiązaniu problemu odwrócenia zbioru otrzymujemy przybliżenie pokazane na rysunku 2. Czerwone prostokąty znajdują się wewnątrz dopuszczalnego zbioru P , a niebieskie prostokąty znajdują się na zewnątrz P .

Rysunek 2 Wykonalny zestaw parametrów

Przypadek rekurencyjny

Estymacja zestawu może być wykorzystana do oszacowania stanu systemu opisanego równaniami stanu przy użyciu implementacji rekurencyjnej. Gdy system jest liniowy, odpowiedni możliwy zestaw wektora stanu można opisać za pomocą polytopów lub elipsoid. Gdy system jest nieliniowy, zestaw może być otoczony przez nawierzchnie podrzędne.

Solidna obudowa

Gdy występują wartości odstające, metoda estymacji zbioru zazwyczaj zwraca zbiór pusty. Wynika to z faktu, że przecięcie między zestawami wektorów parametrów zgodnych z i - tym słupkiem danych jest puste. Aby być solidnym w odniesieniu do wartości odstających, ogólnie charakteryzujemy zestaw wektorów parametrów, które są spójne ze wszystkimi słupkami danych z wyjątkiem q z nich. Jest to możliwe przy użyciu pojęcia q - zrelaksowanego .

Zobacz też

• Identyfikacja zestawu