Wariacyjna metoda asymptotyczna
Variational Asymptotic Method (VAM) to potężne podejście matematyczne upraszczające proces znajdowania punktów stacjonarnych dla opisanego funkcjonału poprzez wykorzystanie małych parametrów. VAM to synergia zasad wariacyjnych i podejść asymptotycznych. Zasady wariacyjne są stosowane do określonego funkcjonału, a asymptoty są stosowane do tego samego funkcjonału zamiast stosowania do równań różniczkowych co jest bardziej podatne na błędy. Ta metodologia ma zastosowanie do całego zakresu problemów fizycznych, w których problem musi być zdefiniowany w postaci wariacyjnej i powinien być w stanie zidentyfikować małe parametry w ramach definicji problemu. Innymi słowy, VAM może mieć zastosowanie tam, gdzie funkcjonał jest tak złożony w określaniu punktów stacjonarnych za pomocą analizy analitycznej lub kosztownej obliczeniowo analizy numerycznej z przewagą małych parametrów. W ten sposób przybliżone punkty stacjonarne w funkcjonale można wykorzystać do uzyskania pierwotnego funkcjonału.
Wstęp
VAM został po raz pierwszy zainicjowany przez Berdichevsky'ego w 1979 roku w celu analizy powłoki. Zastosował VAM do opracowania nieliniowej teorii powłok w 1980 r. I belek w 1982 r. Ta metoda może konstruować dokładne modele struktur redukowalnych wymiarowo oraz analizować geometryczne i materiałowe modele nieliniowe. Berdichevsky dokładnie wyjaśnił procedurę VAM i zastosował ją do struktur powłokowych w celu uzyskania funkcji wypaczania w płaszczyźnie i poza płaszczyzną, gdzie wprowadzona funkcja wypaczania jest rodzajem pomostu między polami 1-D i 3-D, i wyprowadził wyrażenia analityczne uzyskać trójwymiarowe przemieszczenia, naprężenia i odkształcenia. Na początku metody asymptotyczne służą do opracowania analizy przekrojowej belek anizotropowych z rozwiązaniami opartymi na elementach skończonych. Rozwój sformułowania w wariacyjnej asymptotycznej analizie przekrojowej wiązki (VABS) rozpoczęto w 1988 r., A różni byli studenci Hodgesa wnieśli wkład w ten projekt, w tym Hodges, Cesnik i Hodges oraz Yu i in. Bardziej szczegółowy opis historii VABS można znaleźć w książce Hodgesa. Następnie rozwiązuje się liniowe problemy przekroju poprzecznego dla materiałów o właściwościach anizotropowych i niejednorodnych. VABS, nowatorski kod oparty na metodach elementów skończonych, służący do analizy przekrojów poprzecznych wiązki, rozszerzył te prace na materiały piezoelektryczne, co ostatecznie doprowadziło do opracowania VABS i UM/VABS. Hodges i jego współpracownicy wprowadzili wiele uogólnień do analizy przekrojowej. Następnie za pomocą VAM opracowano efektywny model płyty łączący procedurę homogenizacji i proces redukcji wymiarów, aby poradzić sobie z realistycznymi heterogenicznymi płytami, wdrożono VAPAS, który jest oparty na technice elementów skończonych. Ta praca została rozszerzona o analizę laminowanych płyt kompozytowych. VAM jest również używany do opracowywania wariacyjnej metody asymptotycznej do homogenizacji komórek elementarnych (VAMUCH) dla materiałów heterogenicznych.
Procedura
W określonych zastosowaniach konstrukcyjnych, w belkach, procedura rozpoczyna się od analizy trójwymiarowej i matematycznie dzieli analizę na dwuwymiarową analizę przekroju poprzecznego i jednowymiarową analizę belki. W analizie przekroju poprzecznego można uzyskać jednowymiarowe prawo konstytutywne, które jest dostarczane jako dane wejściowe do analizy jednowymiarowej belki. W celu wyrażenia trójwymiarowych przemieszczeń, odkształceń i naprężeń można uzyskać zamkniętą postać analitycznego wyrażenia dla funkcji wypaczenia wraz ze zbiorem relacji powrotu do zdrowia. W płytach/powłokach problem 3-wymiarowy dzieli się na 1-wymiarową analizę grubości i 2-wymiarową analizę płyty/powłoki. W związku z tym uzyskane prawo konstytutywne 2-D z analizy grubości może stanowić dane wejściowe do analizy 2-wymiarowej. Następnie można utworzyć relacje powrotu do zdrowia, które przedstawiają trójwymiarowe przemieszczenia, odkształcenia i naprężenia.
Zalety
• Nie są wymagane żadne założenia kinematyki adhoc
• VAM jest w pełni oparty na fizyce i opracowany z pominięciem mniejszego udziału energii
• Ta metoda umożliwia automatyczne uchwycenie nieklasycznych efektów nieliniowych
• Asymptoty zastosowano do równań funkcyjnych zamiast do równań różniczkowych, co doprowadziło do mniejszej liczby błędów
• Matematycznie rygorystyczna teoria, a jednocześnie przyjazne inżynierom wyniki końcowe
• VAM jest metodą skuteczną, a uzyskane wyniki są dokładne
• Implementacja VAM może pozwolić na zastosowanie podejścia analitycznego i/lub numerycznego
• Właściwe narzędzie do sprawdzania poprawności asymptotycznej z porównaniem innych teorii
Aplikacje
VAM jest szeroko stosowany do problemów konstrukcyjnych, takich jak belki, płyty, powłoki, aby znaleźć naprężenia i odkształcenia jako punkty stacjonarne dla funkcjonału energii odkształcenia opartego na małych parametrach. W tych problemach konstrukcyjnych szerokość i wysokość są małymi parametrami dla belek, a grubość jest małym parametrem dla płyt i powłok. W rzeczywistości małe parametry (geometryczne i/lub fizyczne) nie ograniczają się do wyżej wymienionych parametrów i można je wybrać na podstawie konkretnego zastosowania zdefiniowanego problemu. W makromechanice VAM zastosowano do redukcji wymiarów belek, płyt, powłok i konstrukcji wielofunkcyjnych, w których istnieje znaczna liczba małych parametrów. W mikromechanice VAM jest w stanie projektować i analizować kompozyty, w których zaangażowane są włókno i osnowa. Metodologia ta jest stosowana nie tylko do liniowych materiałów elastycznych o charakterze izotropowym, ale także do różnego rodzaju materiałów hiperelastycznych o charakterze ortotropowym, gdzie materiały hiperelastyczne odgrywają ważną rolę w stosowaniu bioimplantów, badaniu zachowania tkanek miękkich, sterowce na dużych wysokościach itp., a materiały mają nieliniowości geometryczne i materiałowe. Ponadto metoda ta ma zastosowanie do różnych rodzajów materiałów, takich jak materiały dielektryczne, wielofunkcyjne materiały kompozytowe, materiały do pozyskiwania energii itp. Podejście to może być stosowane w analizie strukturalnej przemysłu lotniczego, projektowaniu i analizie tkanin, przemyśle motoryzacyjnym itp. różnego rodzaju analizy, takie jak statyczne, dynamiczne, wielofizyczne, wyboczeniowe, modalne. Następnie opracowano różne kody komputerowe w oparciu o wariacyjną metodę asymptotyczną, takie jak wariacyjna asymptotyczna analiza wiązki (VABS), wariacyjna asymptotyczna analiza płyt i powłok (VAPAS), dynamiczna wariacyjna asymptotyczna analiza płyt i powłok (DVAPAS) itp. Te komputerowe- oparte programy są dobrze ugruntowane i sprawdzone pod kątem zastosowań komercyjnych i są szeroko stosowane do analizy zachowania struktur kompozytowych. Kulminacją tych różnych rozwiązań opartych na VAM było sformalizowanie mechaniki struktury genomu (MSG) jako ogólnych ram dla wieloskalowego modelowania konstytutywnego struktur i materiałów kompozytowych, zawartych w kodzie SwiftComp.