Wariancja warunkowa

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce wariancja warunkowa jest wariancją zmiennej losowej, biorąc pod uwagę wartość (wartości) jednej lub więcej innych zmiennych. Szczególnie w ekonometrii wariancja warunkowa jest również znana jako funkcja skedastyczna lub funkcja skedastyczna . Warunkowe wariancje są ważną częścią autoregresyjnej warunkowej heteroskedastyczności (ARCH).

Definicja

Warunkowa wariancja zmiennej losowej Y przy innej zmiennej losowej X wynosi

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (Y | X) = \ nazwa operatora {E} {\ duży (}{\ duży (} Y- \ nazwa operatora {E} (Y \ środkowy X) {\ duży)} ^ {2 }\mid X{\duży )}.}

$,$ ile wariancji pozostało, do ” Y jak zwykle, oznacza warunkowe oczekiwanie Y $,$ pod uwagę X które możemy sobie przypomnieć, jest X , wyznaczona z prawdopodobieństwem jeden) . W rezultacie sama ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X)}$ jest zmienną losową (i jest funkcją X ).

Wyjaśnienie, stosunek do najmniejszych kwadratów

Przypomnijmy, że wariancja to oczekiwane odchylenie do kwadratu między zmienną losową (powiedzmy Y ) a jej wartością oczekiwaną. Wartość oczekiwaną można traktować jako rozsądną prognozę wyników losowego eksperymentu (w szczególności wartość oczekiwana jest najlepszą stałą prognozą, gdy prognozy są oceniane na podstawie oczekiwanego kwadratu błędu prognozy). Zatem jedną z interpretacji wariancji jest to, że daje ona najmniejszy możliwy oczekiwany kwadratowy błąd prognozy. Jeśli mamy wiedzę o innej zmiennej losowej ( X ), której możemy użyć do przewidywania Y , możemy potencjalnie wykorzystać tę wiedzę do zmniejszenia oczekiwanego błędu kwadratowego. Jak się okazuje, najlepszą prognozą Y przy danym X jest oczekiwanie warunkowe. W szczególności dla dowolnego mierzalnego, fa $\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {E} [(Yf (X)) ^ {2}] & = \ nazwa operatora {E} [(Y- \ nazwa operatora {E} (Y | X) \, \ ,+\,\,\nazwa_operatora {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\\&=\nazwa_operatora {E} [\nazwa_operatora {E} \{(Y-\nazwa_operatora { E} (Y|X)\,\,+\,\,\nazwa_operatora {E} (Y|X)-f(X))^{2}|X\}]\\&=\nazwa_operatora {E} [\operatorname {Var} (Y|X)]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\,.\end{aligned}} }

Wybierając $_$ _ Tutaj druga równość wykorzystała prawo całkowitego oczekiwania . Widzimy również, że oczekiwana wariancja warunkowa Y przy danych X okazuje się nieredukowalnym błędem przewidywania Y przy znajomości tylko X .

Przypadki specjalne, odmiany

Warunkowanie na dyskretnych zmiennych losowych

Kiedy X przyjmuje $_$ z _ zmienna losowa , możemy wprowadzić ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ , warunkową wariancję Y , biorąc pod uwagę, że X = x dla dowolnego x z S w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (Y | X = x) = \ nazwa_operatora {E} ((Y-\nazwa_operatora {E} (Y\mid X=x))^{2}\mid X=x),}

gdzie przypomnijmy, że $,$ oczekiwaniem Z, biorąc = x ${\ displaystyle x \ w S}$ jest dobrze zdefiniowane . Alternatywną notacją dla ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ jest ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} _ {Y \ mid X} (Y | x).}$

Zauważ, że tutaj ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ definiuje stałą dla możliwych wartości x , aw szczególności ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ nie jest zmienną losową.

Połączenie tej definicji z ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X)}$ jest następujące: Niech S będzie jak powyżej i zdefiniuj funkcję ${\ displaystyle v: S \ do \ mathbb {R}}$ as ${\ Displaystyle v (x) = \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ . Wtedy prawie na pewno ${\ Displaystyle v (X) = \ operatorname {Var} (Y | X)}$ .

Definicja przy użyciu rozkładów warunkowych

„Warunkowe oczekiwanie Y przy danym X=x ” można również zdefiniować bardziej ogólnie za pomocą warunkowego rozkładu Y przy danym X (to istnieje w tym przypadku, ponieważ tutaj zarówno X , jak i Y mają wartości rzeczywiste).

W szczególności, pozwalając ${\ displaystyle P_ {Y|X}}$ być (regularnym) rozkładem warunkowym ${\ Displaystyle P_ {Y|X}}$ z Y podanego X , tj. ${\ Displaystyle P_ {Y | X}: {\ mathcal {B}} \ razy \ mathbb {R} \ do [0,1]}$ (zamiarem jest, aby $_$ _ X ), możemy zdefiniować

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (Y | X = x) = \ int \ lewo (y- \ int y'P_ {Y|X} (dy'|x) \ prawo) ^ {2} P_ {Y | X}(dy|x).}$

to oczywiście specjalizować, gdy Y jest samo w sobie dyskretne (zastępując całki sumami), a także wtedy, gdy istnieje gęstość warunkowa Y mając X = x w odniesieniu do pewnego podstawowego rozkładu.

Składniki wariancji

Mówi prawo całkowitej wariancji

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (Y) = \ nazwa operatora {E} (\ nazwa operatora {Var} (Y \ mid X)) + \ nazwa operatora {Var} (\ nazwa operatora {E} (Y \ mid X)). }$

Słownie: wariancja Y jest sumą oczekiwanej wariancji warunkowej Y przy danym X i wariancji warunkowej wartości oczekiwanej Y przy danym X . Pierwszy człon oddaje zmienność pozostałą po „użyciu X do przewidywania Y ”, podczas gdy drugi człon oddaje zmienność wynikającą ze średniej predykcji Y z powodu losowości X .

Zobacz też

Dalsza lektura

Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Wnioskowanie statystyczne (wyd. Drugie). Wadswortha. s. 151–52. ISBN 0-534-24312-6 .