Większe sito

W teorii liczb większe sito to sito wynalezione przez Patricka X. Gallaghera . Nazwa oznacza podwyższenie dużego sita . Sita kombinatoryczne, takie jak sito Selberga , są najsilniejsze, gdy usuwa się tylko kilka klas pozostałości, podczas gdy określenie duże sito oznacza, że ​​to sito może wykorzystać usuwanie dużej liczby, nawet połowy wszystkich klas pozostałości. Większe sito może wykorzystać usunięcie dowolnej liczby klas.

Oświadczenie

Załóżmy, że jest zbiorem potęg pierwszych, N liczbą całkowitą, $}}$${ \ mathcal {A$ zbiorem liczb całkowitych w przedziale [1, N ], S {\ Displaystyle {\ mathcal {S}}} tak, że dla $}}$$,$ istnieją co najwyżej pozostałości modulo ${\ Displaystyle q}$ zawierają elementy ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ .

Następnie mamy

${\ Displaystyle | {\ mathcal {A}} | \ równoważnik {\ Frac {\ suma _{q\in {\mathcal {S}}}\Lambda (q)-\log N}{\sum _{q\in {\mathcal {S}}}{\frac {\Lambda (q)}{ g(q)}}-\log N}},}$

pod warunkiem, że mianownik po prawej stronie jest dodatni.

Aplikacje

Typowym zastosowaniem jest następujący wynik, dla którego duże sito zawodzi (szczególnie dla ), ze względu na Gallaghera: ${\ displaystyle \ theta > {\ frac {1} {2}}}$

$p$ liczb całkowitych  takich, że kolejność ${\ Displaystyle$ p $}$ wynosi $}}$ p ${\ Displaystyle p \ równoważnik N ^ {\ teta + \ epsilon}}$ jest $Displaystyle {\ mathcal {O}} (N ^ {\ teta})}$ . 

$Jeśli$ liczba wykluczonych klas pozostałości modulo $zmienia$ wraz z , to większe sito jest często łączone z dużym sitem Większe sito jest stosowane ze zbiorem ${\ displaystyle {\ mathcal { S}}} {\ Displaystyle {\$ powyżej jako zbiór liczb pierwszych, dla którego usunięto wiele klas reszt, podczas gdy duże sito służy do uzyskiwania informacji przy użyciu liczb pierwszych poza ${S}}}$ mathcal

Notatki

• Gallagher, Patrick (1971). „Większe sito” . Acta Arithmetica . 18 : 77–81. doi : 10.4064/aa-18-1-77-81 .
• Croot, Ernie ; Elsholtz, chrześcijanin (2004). „O wariantach większego sita” . Acta Mathematica Hungarica . 103 (3): 243–254. doi : 10.1023/B:AMHU.0000028411.04500.e2 .