Wielomiany Hahna

W matematyce wielomiany Hahna to rodzina wielomianów ortogonalnych w schemacie hipergeometrycznych wielomianów ortogonalnych Askeya , wprowadzonym przez Pafnuty'ego Czebyszewa w 1875 r. ( Czebyszew 1907 ) i ponownie odkrytym przez Wolfganga Hahna ( Hahn 1949 ). Klasa Hahna to nazwa szczególnych przypadków wielomianów Hahna, w tym wielomianów Hahna, wielomianów Meixnera , wielomianów Krawtchouka i wielomianów Charliera . Czasami przyjmuje się, że klasa Hahna obejmuje ograniczające przypadki tych wielomianów, w którym to przypadku obejmuje również klasyczne wielomiany ortogonalne .

Wielomiany Hahna są zdefiniowane w kategoriach uogólnionych funkcji hipergeometrycznych przez

${\ Displaystyle Q_ {n} (x; \ alfa, \ beta, N) = {} _ {3} F_ {2} (-n, -x, n + \ alfa + \ beta +1; \ alfa +1, -N+1;1).\ }$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky i René F. Swarttouw ( 2010 , 14) podają szczegółową listę swoich właściwości.

Jeśli $dyskretnymi$ te wielomiany są identyczne z wielomianami Czebyszewa, skali.

Ściśle spokrewnione wielomiany obejmują podwójne wielomiany Hahna R _n ( x ; γ, δ, N ), ciągłe wielomiany Hahna p _n ( x , a , b , a , b ) i ciągłe podwójne wielomiany Hahna S _n ( x ; a , b , c ). Wszystkie te wielomiany mają q z dodatkowym parametrem q , takie jak wielomiany q-Hahna Q _n ( x ; α, β, N ; q ) i tak dalej.

Ortogonalność

${\ Displaystyle \ suma _ {x = 0} ^ {N-1} Q_ {n} (x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} Q_ {n} (x) Q_ {n} (y) \ pi _ {n} = {\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}}$

gdzie δ _{x, y} to funkcja delta Kroneckera, a funkcje wagi to

${\ Displaystyle \ rho (x) = \ rho (x; \ alfa; \ beta, N) = {\ binom {\ alfa + x} {x}} {\ binom {\ beta + N-1-x} N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}}$

I

${\ Displaystyle \ pi _ {n} = \ pi _ {n} (\ alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma ( \beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}} /{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}}$ .

Stosunek do innych wielomianów

• Wielomiany Racaha są uogólnieniem wielomianów Hahna

• Chebyshev, P. (1907), "Sur l'interpolation des valeurs équidistantes", w Markoff, A.; Sonin, N. (red.), Oeuvres de PL Tchebychef , tom. 2, s. 219–242, przedrukowane przez Chelsea
•    Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynom, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , MR 0030647
•    Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric ortogonalne wielomiany i ich q-analogi , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3 -642-05013-8 , MR 2656096
•    Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Klasa Hahna: definicje” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248