q -wielomiany Hahna

W matematyce wielomiany q -Hahna to rodzina podstawowych hipergeometrycznych wielomianów ortogonalnych w podstawowym schemacie Askeya . Roelof Koekoek, Peter A. Lesky i René F. Swarttouw ( 2010 , 14) podają szczegółową listę swoich właściwości.

Definicja

Wielomiany są podane w kategoriach podstawowych funkcji hipergeometrycznych przez

{\ Displaystyle Q_ {n} (q ^ {- x}; a, b, N; q) = {} _ {3} \ fi _ {2} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} q ^ {- n },abq^{n+1},q^{-x}\\aq,q^{-N}\end{macierz}};q,q\prawo].}

Stosunek do innych wielomianów

Wielomiany q-Hahna→ Kwantowe wielomiany q-Krawtchouka ：

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ do \ infty} Q_ {n}(q^{-x};a;p,N|q)=K_{n}^{qtm}(q^{-x};p,N;q)}$

Wielomiany q-Hahna→ Wielomiany Hahna

dokonaj podstawienia do definicji wielomianów q-Hahna i znajdź granicę ${\ Displaystyle \ alpha = q ^ {\ alfa}}$ , ${\ Displaystyle \ beta = q ^ {\ beta}}$ q→1, otrzymujemy

{\ Displaystyle {} _ {3} F_ {2} (- n, \ alfa + \ beta + n+1,-x,\alpha +1,-N,1)}

，co jest dokładnie wielomianem Hahna .

Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Podstawowe serie hipergeometryczne , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 96 (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719
Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric ortogonalne wielomiany i ich q-analogi , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3 -642-05013-8 , MR 2656096
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Rozdział 18: Wielomiany ortogonalne” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
Costas-Santos, RS; Sánchez-Lara, JF (wrzesień 2011). „Ortogonalność q - wielomianów dla parametrów niestandardowych”. Dziennik teorii aproksymacji . 163 (9): 1246-1268. arXiv : 1002.4657 . doi : 10.1016/j.jat.2011.04.005 . S2CID 115178147 .