Wielomiany Halla-Littlewooda

W matematyce wielomiany Halla -Littlewooda są funkcjami symetrycznymi zależnymi od parametru t i podziału λ. Są to funkcje Schura , gdy t wynosi 0, i jednomianowe funkcje symetryczne, gdy t wynosi 1 i są szczególnymi przypadkami wielomianów Macdonalda . Po raz pierwszy zostały one zdefiniowane pośrednio przez Philipa Halla przy użyciu algebry Halla , a później bezpośrednio przez Dudleya E. Littlewooda (1961).

Definicja

Wielomian Halla-Littlewooda P jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle P _ {\ lambda} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}; t) = \ lewo (\ prod _ {i \ geq 0 }\prod _{j=1}^{m(i)}{\frac {1-t}{1-t^{j}}}\right){\sum _{w\in S_{n}} w\left(x_{1}^{\lambda _{1}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}\prod _{i<j}{\frac {x_{i}-tx_ {j}}{x_{i}-x_{j}}}\prawo)},}$

gdzie λ jest podziałem co najwyżej n elementów λ _i , a m ( i ) elementów równych i , a S _n jest grupą symetryczną rzędu n !.

Jako przykład,

${\ Displaystyle P_ {42} (x_ {1}, x_{2};t)=x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}+(1-t)x_{1 }^{3}x_{2}^{3}}$

Specjalizacje

P. ${\ Displaystyle P _ {\ lambda} (x; 1) = m_ {\ lambda} (x)$${\ Displaystyle P _ {\ lambda} (x; 0) = s _ {\ lambda} (x)}$ , i ${\ Displaystyle P _ {\ lambda} (x; -1) = P _ {\ lambda} (x)} gdzie ten ostatni to$ wielomiany Schura P.

Nieruchomości

Rozszerzając wielomiany Schura pod względem wielomianów Halla-Littlewooda, jeden ma

${\ Displaystyle s_ {\ lambda} (x) = \ suma _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} (t) P_{\mu}(x,t)}$

gdzie $_$ _ _ _ Zauważ, że jako ${\ displaystyle t = 1}$ redukują się one do zwykłych współczynników Kostki.

Kombinatoryczny opis wielomianów Kostki – Foulkesa podali Lascoux i Schützenberger,

${\ Displaystyle K _ {\ lambda \ mu} (t) = \ suma _ {T \ in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{\mathrm {ładunek} (T)}}$

gdzie „ładunek” jest pewną kombinatoryczną statystyką na półstandardowych tablicach Younga, a suma jest przejmowana ze wszystkich półstandardowych tablic Younga o kształcie λ i typie μ .

Zobacz też

• Wielomian Halla

•   IG Macdonald (1979). Funkcje symetryczne i wielomiany Halla . Oxford University Press. s. 101–104. ISBN 0-19-853530-9 .
• DE Littlewood (1961). „O niektórych funkcjach symetrycznych”. Proceedings of London Mathematical Society . 43 : 485–498. doi : 10.1112/plms/s3-11.1.485 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Wielomian Halla-Littlewooda” . MathWorld .