Wielowymiarowa estymacja widmowa

Wielowymiarowa estymacja widmowa jest uogólnieniem estymacji widmowej , zwykle formułowanej dla sygnałów jednowymiarowych , na sygnały wielowymiarowe lub dane wielowymiarowe , takie jak wektory falowe .

Motywacja

Wielowymiarowa estymacja spektralna zyskała popularność dzięki zastosowaniu w takich dziedzinach jak medycyna, lotnictwo, sonar, radar, bioinformatyka i geofizyka. W niedawnej przeszłości zaproponowano wiele metod projektowania modeli o skończonych parametrach w celu oszacowania widma mocy sygnałów wielowymiarowych. W tym artykule przyjrzymy się podstawom metod stosowanych do szacowania widma mocy sygnałów wielowymiarowych.

Aplikacje

Istnieje wiele zastosowań estymacji widmowej sygnałów multi-D, takich jak klasyfikacja sygnałów jako dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, pasmo przepustowe i pasmo zatrzymania. Jest również używany do kompresji i kodowania sygnałów audio i wideo, formowania wiązki i określania kierunku w radarach , szacowania i przetwarzania danych sejsmicznych , szeregu czujników i anten oraz analizy drgań. W dziedzinie radioastronomii służy do synchronizacji wyjść szeregu teleskopów.

Podstawowe koncepcje

W przypadku jednowymiarowym sygnał charakteryzuje się amplitudą i skalą czasu. Podstawowe pojęcia związane z estymacją widmową obejmują autokorelację , wielowymiarową transformatę Fouriera , błąd średniokwadratowy i entropię . Jeśli chodzi o sygnały wielowymiarowe, istnieją dwa główne podejścia: użycie banku filtrów lub oszacowanie parametrów procesu losowego w celu oszacowania widma mocy.

techniki estymacji spektralnej

Metody

Klasyczna teoria estymacji

oszacowanie klasyczne

Jest to technika szacowania widma mocy sygnału jednowymiarowego lub wielowymiarowego, ponieważ nie można go dokładnie obliczyć. Podano próbki szerokosensownego stacjonarnego procesu losowego i jego statystyki (pomiary) drugiego rzędu. Oszacowania uzyskuje się stosując wielowymiarową transformatę Fouriera funkcji autokorelacji sygnału losowego. Oszacowanie rozpoczyna się od obliczenia periodogramu, który otrzymuje się przez podniesienie do kwadratu wielkości wielowymiarowej transformaty Fouriera pomiarów ri(n). Szacunki widmowe uzyskane z periodogramu mają dużą zmienność amplitudy dla kolejnych próbek periodogramu lub liczby falowej. Problem ten rozwiązuje się za pomocą technik składających się na klasyczną teorię estymacji. Są one następujące: 1. Bartlett zaproponował metodę uśredniania oszacowań widmowych w celu obliczenia widma mocy. Pomiary są dzielone na segmenty równomiernie rozmieszczone w czasie i pobierana jest średnia. Daje to lepsze oszacowanie. 2. Na podstawie liczby falowej i indeksu odbiornika/wyjścia możemy podzielić segmenty. Zwiększa to oszacowania widmowe i zmniejsza wariancje między kolejnymi segmentami. 3. Welch zasugerował, że powinniśmy podzielić pomiary za pomocą funkcji okna danych, obliczyć periodogram, uśrednić je, aby uzyskać oszacowanie widma i obliczyć widmo mocy za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT). Zwiększa to szybkość obliczeniową. 4.Smoothing window pomoże nam wygładzić oszacowanie poprzez pomnożenie periodogramu przez widmo wygładzające. Szerszy główny płat widma wygładzania, staje się gładszy kosztem rozdzielczości częstotliwościowej.

${\ Displaystyle P \ lewo (K_ {x} ,w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^ {-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {ss} \ lewo (x, t \ prawo) = s \ lewo [ \left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$

${\ Displaystyle P_ {B} \ lewo (w \ prawej) = {\ Frac {1} {detN}} \ suma _ {l} | \ suma _ {n} \ x \ lewo (n + MI \ prawo) \ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ Przypadek Bartletta

${\ Displaystyle P_ {M} \ lewo (w \ prawej) = {\ Frac {1} {detN}} | \ suma _ {n} \ g \ lewo (n \ prawo) \ x \ lewo (n \ prawo) )\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ Zmodyfikowany periodogram

${\ Displaystyle P_ {W} \ lewo (w \ prawej) = {\ Frac {1} {detN}} \ suma _ {l} | \ suma _ {n} \ g \ lewo (n \ prawo) \ x \left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ Przypadek Welcha

Zalety

Prosta metoda wykorzystująca transformaty Fouriera.

Ograniczenia

1. Ponieważ niektóre z powyższych metod próbkują sekwencję w czasie, rozdzielczość częstotliwości jest zmniejszona (aliasing).
2. Liczba przypadków stacjonarnego procesu losowego w szerokim sensie jest mniejsza, co utrudnia dokładne obliczenie oszacowań.

Oszacowania spektralne w wysokiej rozdzielczości

Ta metoda daje lepsze oszacowanie, którego rozdzielczość częstotliwości jest wyższa niż klasyczna teoria estymacji. W metodzie estymacji o wysokiej rozdzielczości używamy okna zmiennej liczby falowej, które dopuszcza tylko niektóre liczby falowe i tłumi inne. Praca Capona pomogła nam ustalić metodę szacowania przy użyciu składowych liczby falowej i częstotliwości. Daje to oszacowanie z wyższą rozdzielczością częstotliwości. Jest podobna do metody największego prawdopodobieństwa, ponieważ stosowane narzędzie optymalizacyjne jest podobne.

Założenie

Wyjście otrzymane z czujników jest stacjonarnym procesem losowym w szerokim sensie z zerową średnią.

${\ Displaystyle P_ {C} \ lewo (K_ {o} x, w_ {o} \ prawej) = E \ lewo [| y \ lewo ( i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\sum _{\alpha =0}^{N-1}\sum _{\beta =0}^{M- 1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right )}}}$

Zalety

1. Wyższa rozdzielczość częstotliwości w porównaniu z innymi istniejącymi metodami.
2. Lepsze oszacowanie częstotliwości, ponieważ używamy okna o zmiennej liczbie falowej w porównaniu z metodą klasyczną, która wykorzystuje okno o stałej liczbie falowej.
3. Szybsza prędkość obliczeniowa, ponieważ wykorzystuje FFT.

Oddzielny estymator widmowy

W tego typu estymacji wybieramy sygnał wielowymiarowy jako funkcję rozdzielną. Dzięki tej właściwości będziemy mogli oglądać analizę Fouriera zachodzącą kolejno w wielu wymiarach. Opóźnienie czasowe w operacji podniesienia do kwadratu wielkości pomoże nam przetworzyć transformację Fouriera w każdym wymiarze. W każdym wymiarze stosowana jest wielowymiarowa transformata Fouriera w czasie dyskretnym, a na końcu stosowany jest estymator maksymalnej entropii i wielkość jest podnoszona do kwadratu.

Zalety

1. Analiza Fouriera jest elastyczna, ponieważ sygnał można rozdzielić.
2. Zachowuje składowe fazowe każdego wymiaru w przeciwieństwie do innych estymatorów widmowych.

Wielobiegunowe modelowanie widmowe

Ta metoda jest rozszerzeniem jednowymiarowej techniki zwanej autoregresyjną estymacją spektralną. W autoregresyjnych zmienne wyjściowe zależą liniowo od swoich własnych poprzednich wartości. W modelu tym estymacja widma mocy sprowadza się do estymacji współczynników ze współczynników autokorelacji procesu losowego, które z założenia są znane dla określonego regionu. Widmo mocy losowego procesu ${\ Displaystyle P_ {A} (k_ {x},$${\ Displaystyle r (i, n)}$ jest podane przez:

${\ Displaystyle P_ {A} \ lewo (k_ {x}, w \ prawej) = P_ {e} \ lewo (k_ {x}, w \ prawej) | {\ Frac {1} {1-A \ lewo (k_{x},w\prawo)}}|^{2}}$

${\ Displaystyle P_ {e} \ lewo (k_ {x}, w \ prawej)}$ mi widmem mocy losowego procesu ${\ Displaystyle e (i ,n)}$ , która jest podawana jako dane wejściowe do systemu z funkcją przejścia ${\ Displaystyle | {\ Frac {1} {1-A \ lewo (k_ {x}, w \ prawej)}} |},$ aby uzyskać ${\ Displaystyle r (i, n)}$ i ${\ Displaystyle A \ lewo (k_ {x}, w \ prawej)}$ jest:

${\ Displaystyle A \ lewo (k_ {x },w\right)=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq )}$

$l,m\right)}$ oszacowania współczynników $l ,$ funkcji autokorelacji $\ varphi \$ procesu losowego. Współczynniki można również oszacować za pomocą predykcji liniowej , która zajmuje się minimalizacją błędu średniokwadratowego między rzeczywistym sygnałem losowym a przewidywanymi wartościami sygnału losowego.

Ograniczenia

1. W 1-D mamy taką samą liczbę równań liniowych z taką samą liczbą niewiadomych ze względu na właściwość dopasowania autokorelacji. Ale może to nie być możliwe w multi-D, ponieważ zestaw parametrów nie zawiera wystarczającej liczby stopni swobody, aby dopasować współczynniki autokorelacji.
2. Zakładamy, że tablica współczynników jest ograniczona do pewnego obszaru.
3. W sformułowaniu 1-D predykcji liniowej filtr odwrotny ma właściwość minimalnej fazy, co dowodzi, że filtr jest stabilny. Nie zawsze musi to być prawdą w przypadku multi-D.
4. W sformułowaniu 1-D macierz autokorelacji jest dodatnio określona, ​​ale dodatnio określone rozszerzenie może nie istnieć w przypadku multi-D.

Oszacowanie spektralne maksymalnej entropii

Estymacja widmowa maksymalnej entropii.

W tej metodzie estymacji widmowej staramy się znaleźć estymator widmowy, którego odwrotna transformata Fouriera odpowiada znanym współczynnikom autokorelacji. Maksymalizujemy entropię oszacowania widmowego tak, aby pasowała do współczynników autokorelacji. Równanie entropii jest podane jako:

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} \int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw}$

$.$ mocy można wyrazić jako sumę znanych współczynników Dostosowując wartości nieograniczonych współczynników, można zmaksymalizować entropię.

Maksymalna entropia ma postać:

${\ Displaystyle P_ {ME} = {\ Frac {1} {\ suma _ {l} \ suma _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}}$

λ(l,m) należy wybrać tak, aby dopasować znane współczynniki autokorelacji.

Ograniczenia

1. Ma ograniczoną optymalizację. Można temu zaradzić stosując metodę mnożników Lagrange'a.
2. Oszacowanie spektralne wszystkich biegunów nie jest rozwiązaniem maksymalnej entropii w przypadku wielowymiarowym, jak ma to miejsce w przypadku 1-D. Dzieje się tak, ponieważ model spektralny wszystkich biegunów nie zawiera wystarczającego stopnia swobody, aby dopasować znane współczynniki autokorelacji.

Zalety

Błędy w pomiarze lub szacowaniu znanych współczynników autokorelacji mogą być brane pod uwagę, ponieważ dokładne dopasowanie nie jest wymagane.

Wada Wymagana

jest zbyt duża liczba obliczeń.

Ulepszona metoda największej wiarygodności (IMLM)

Jest to stosunkowo nowe podejście. Ulepszona metoda największej wiarygodności (IMLM) to połączenie dwóch estymatorów MLM ( największej wiarygodności ). Ulepszone maksymalne prawdopodobieństwo dwóch dwuwymiarowych tablic A i B przy liczbie falowej k (dostarcza informacji o orientacji tablicy w przestrzeni) wyraża się zależnością:

${\ Displaystyle IMLM \ lewo (k: A, B \ prawej) = {\ frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}$

Tablica B jest podzbiorem A. Dlatego zakładając, że A>B, jeśli istnieje różnica między MLM A i MLM B, to znaczna część szacowanej energii widmowej na częstotliwości może być spowodowana upływem mocy z innych częstotliwości . Deemfaza MLM A może poprawić estymację widmową. Osiąga się to przez pomnożenie przez funkcję ważoną, która jest mniejsza, gdy istnieje większa różnica między MLA B i MLA A.

${\ Displaystyle IMLM \ lewo (k: A, B \ prawo) = {\ Frac {MLM \ lewo (k: A \ prawo) MLM \ lewo (k: B \ prawo)} {MLM \ lewo (k: B \ prawo) -MLM \ lewo (k: A \ prawo)}}}$

${\ Displaystyle IMLM \ lewo (k :A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}$

gdzie jest funkcją ważenia i jest określona wyrażeniem: ${\ Displaystyle W_ {AB} \ lewo (k \ prawo)}$

${\ Displaystyle W_ {AB} \ lewo (k \ prawej) = {\ Frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$

Zalety

1. Stosowany jako alternatywa dla MLM lub MEM (metoda maksymalnej entropii / zasada maksymalnej entropii )
2. IMLM ma lepszą rozdzielczość niż MLM i wymaga mniejszej liczby obliczeń w porównaniu z MEM