Wir Batchelora

W dynamice płynów wiry Batchelora , po raz pierwszy opisane przez George'a Batchelora w artykule z 1964 roku, okazały się przydatne w analizach problemów związanych z zagrożeniem wirami samolotu.

Modelka

Wir Batchelora jest przybliżonym rozwiązaniem równań Naviera-Stokesa uzyskanych za pomocą aproksymacji warstwy granicznej . Fizycznym uzasadnieniem tego przybliżenia jest założenie, że gradient osiowy interesującego nas pola przepływu jest znacznie mniejszy niż gradient promieniowy. $styl wyświetlania (x,r,\theta )}$$składowe$ prędkości wiru są odpowiednio oznaczone być reprezentowane we współrzędnych cylindrycznych ${\ Displaystyle U}$ , ${\ Displaystyle V}$ W $\ Displaystyle$ w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {cl} U (r) & = U _ {\ infty} + {\ Frac {W_ {0}} {(R / R_ {0}) ^ {2}}} e ^ {-(r/R)^{2}},\\V(r)&=0,\\W(r)&=qW_{0}{\frac {1-e^{-(r/R) ^{2}}}{(r/R_{0})}}.\end{tablica}}}$

Parametry w powyższych równaniach to

• ${\ Displaystyle U _ {\ infty}}$ , prędkość osiowa swobodnego strumienia,
• ${\ Displaystyle W_ {0}}$ , skala prędkości (używana do braku wymiarowania),
• ${\ displaystyle R_ {0}}$ , skala długości (używana do braku wymiarowania), R {\ displaystyle R_ {0}}
• ${\ Displaystyle R = R (t) = {\ sqrt {R_ {0} ^ {2} + 4 \ nu t}}}$ , miara rozmiaru rdzenia , z początkowym rozmiarem rdzenia i reprezentującym lepkość, ${0} }$${\ displaystyle$
• ${\ Displaystyle q}$ , siła wirowania, podana jako stosunek maksymalnej prędkości stycznej do prędkości rdzenia.

$,$ że składowa promieniowa prędkości wynosi zero, a składowe osiowe i azymutalne zależą tylko . Zapisujemy teraz powyższy system w postaci bezwymiarowej, skalując czas o współczynnik ${\ displaystyle R_ {0}/W_ {0}}$ . Używając tych samych symboli dla zmiennych bezwymiarowych, wir Batchelora można wyrazić za pomocą zmiennych bezwymiarowych jako

${\ Displaystyle \ lewo \ lbrace {\ rozpocząć {tablica} {cl} U (r) & = a + \ Displaystyle {{\ Frac {1} {1 + 4 t / Re} } e ^ {- r ^ {2}/(1 + 4 t/Re)}}, \\ V (r) i = 0, \\ W (r) i = q \ Displaystyle {\ Frac {1-e ^ {-r^{2}/(1+4t/Re)}}{r}},\end{tablica}}\right.}$

gdzie $oznacza$ prędkość osiową swobodnego strumienia, $Re$ liczbą Reynoldsa .

Jeśli ktoś pozwoli ${\ displaystyle a = 0 }$ weźmie pod uwagę nieskończenie dużą liczbę wirów, to wir Batchelora upraszcza się do wiru Lamb-Oseen dla prędkości azymutalnej: za

${\ Displaystyle W _ {\ Theta} (r) = {\ Frac {\ Gamma} {2 \ pi r}} \ lewo (1-e^{-r^{2}/R_{c}^{2}}\prawo)}$

gdzie jest obieg. ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Linki zewnętrzne

• Ciągłe widma wiru Batchelor (autor: Xueri Mao i Spencer Sherwin i opublikowane przez Imperial College London )