Współczynniki tarcia Perrina

W hydrodynamice współczynniki tarcia Perrina to multiplikatywne dostosowania tarcia translacyjnego i obrotowego sztywnej sferoidy w stosunku do odpowiednich tarć w kulach o tej samej objętości. Te współczynniki tarcia zostały po raz pierwszy obliczone przez Jean-Baptiste Perrina .

Współczynniki te dotyczą sferoid (tj. elipsoid obrotowych), które charakteryzują się stosunkiem osiowym p = (a/b) , zdefiniowanym tutaj jako półoś osiowa a (tj. półoś wzdłuż osi obrotu) podzielona przez półoś równikowa b . W wydłużonych sferoidach stosunek osiowy p > 1 , ponieważ półoś osiowa jest dłuższa niż półoś równikowa. I odwrotnie, w spłaszczonych sferoidach stosunek osiowy p <1 ponieważ półoś osiowa jest krótsza niż półoś równikowa. Wreszcie w sferach stosunek osiowy p = 1 , ponieważ wszystkie trzy półosie są równej długości.

Przedstawione poniżej wzory zakładają warunki brzegowe „stick” (a nie „slip”), tzn. zakłada się, że prędkość płynu na powierzchni sferoidy wynosi zero.

Czynnik S Perrina

Dla zwięzłości w poniższych równaniach definiujemy współczynnik S Perrina . Dla wydłużonych sferoid (tj. sferoid w kształcie cygara z dwiema krótkimi osiami i jedną długą osią)

${\ Displaystyle S \ {\ stos {\ operatorname {def}}}}} \ 2 {\ Frac {\ operatorname {atanh} \ \ xi} {\ xi}}}$

gdzie parametr $zdefiniowany$

${\ Displaystyle \ xi \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ {\ Frac {\ sqrt {\ lewo | p ^ {2} -1 \ prawo |}} {p}}}$

Podobnie w przypadku spłaszczonych sferoid (tj. sferoid w kształcie dysku z dwiema długimi osiami i jedną krótką osią)

$\ Displaystyle S \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ 2 {\ Frac {\ operatorname {atan} \ \ xi} {\ xi} }}$

$wydłużonych$ przypadku kul, jak można $wykazać$ , przyjmując sferoid

Współczynnik tarcia translacyjnego

Współczynnik tarcia dowolnej sferoidy o $jest$ równy

$\ Displaystyle f_ {tot} = f_ {kula} \ f_ {P}}$

gdzie $\ Displaystyle f_ {kula}}$ jest translacyjnym współczynnikiem tarcia kuli o równoważnej objętości ( prawo Stokesa )

$Displaystyle f_ {kula} = 6 \ pi \ eta R_ {eff} = 6 \ pi \ eta \ lewo ({\ Frac {3V} {4 \ pi}} \ prawej) ^ {(1/3)}}$

i $współczynnikiem$ tarcia Perrina

${\ operatorname {def}}}}} \ {\ Frac {2p ^ {2/3}} {S}}}$

Współczynnik tarcia jest powiązany ze stałą dyfuzji D za pomocą relacji Einsteina

${\ Displaystyle D = {\ Frac {k_ {B} T} {f_ {całkowity}}}}$

$analitycznego$ związku z tym bezpośrednio za pomocą lub pośrednio za pomocą różnych metod określania stałej dyfuzji (np. NMR i dynamiczne rozpraszanie światła ).

Współczynnik tarcia obrotowego

Istnieją dwa obrotowe współczynniki tarcia dla ogólnej sferoidy, jeden dla obrotu wokół półosi osiowej (oznaczony $)$$wokół$ jednej z półosi równikowych (oznaczony . Perrin to pokazał

$stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ \ lewo ({\ Frac {4} {3}} \ prawej) {\ Frac {p ^ {2} -1} {2p ^ {2} -S}}} fa mi$

${\ Displaystyle F_ {równ.} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ \ lewo ({\ Frac {4} {3}} \ prawej) {\ Frac {(1/p) ^ {2} -p ^ {2}} {2-S \ lewo [2- (1/p) ^ {2} \ prawo]}}}$

zarówno dla wydłużonych, jak i spłaszczonych sferoid. W przypadku sfer , $}$ można zobaczyć, biorąc granicę , $\ Displaystyle F_ {ax} = F_ {eq} =$ .

$1}$$\$ 1 \ . W takich przypadkach może być lepiej rozszerzyć serię, np.

${\frac {4\cdot 6\cdot 8}{5\cdot 7\cdot 9}}\right)\left({\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}\right)^{3}+\ldots}$

dla spłaszczonych sferoid.

Stałe czasowe relaksacji rotacyjnej

Współczynniki tarcia obrotowego rzadko obserwuje się bezpośrednio. Raczej mierzy się wykładniczą relaksację obrotową w odpowiedzi na siłę orientującą (taką jak przepływ, przyłożone pole elektryczne itp.). Stała czasowa relaksacji wektora kierunku osiowego wynosi

$\ Displaystyle \ tau _ {ax} = \ lewo ({\ Frac {1} {k_ {B} T}} \ prawej) {\ Frac {F_ {równ.}} {2}}}$

mając na uwadze, że dla wektorów kierunku równikowego jest

$\ lewo ({\ Frac {1} {k_ {B} T}} \right){\frac {F_{ax}F_{równ.}}{F_{ax}+F_{równ.}}}}$

$,$ gdy stosunek osiowy odbiega od 1, zwłaszcza w przypadku wydłużonych sferoid. Eksperymentalne metody pomiaru tych stałych czasowych obejmują anizotropię fluorescencji , NMR , dwójłomność przepływu i spektroskopię dielektryczną .

Może się to wydawać paradoksalne, że $}$ za $Displaystyle \ tau _ {ax$ } Wynika to z tego, że reorientacje wektora kierunku osiowego zachodzą poprzez obroty wokół osi prostopadłych , tj. wokół osi równikowych. Podobne rozumowanie dotyczy ${\ Displaystyle \ tau _ {równ.}}$ .

• Cantor CR i Schimmel PR. (1980) Chemia biofizyczna. Część druga. Techniki badania struktury i funkcji biologicznej , WH Freeman, s. 561-562.
• Koenig SH. (1975) „Ruch Browna elipsoidy. Korekta wyników Perrina”. Biopolimery 14: 2421–2423.